Kombinatorika

Pravdepodobnosť pri opakovaných pokusoch

V mnohých situáciách nás nezaujíma iba výsledok jedného pokusu, ale správanie javu pri jeho opakovaní. Nehodíme kockou iba raz, ale dvakrát či viackrát. Nevytiahneme len jednu kartu, ale sledujeme niekoľko ťahov za sebou. Nezaujíma nás iba to, či nastane úspech, ale aj to, koľkokrát nastane.

Takéto úlohy sú dôležité nielen v matematike, ale aj v bežnom živote: pri kontrole kvality výrobkov, pri odhadoch úspešnosti, pri hrách, v štatistike aj pri rozhodovaní v neistote. Pri ich riešení sa učíme rozlišovať, či jednotlivé pokusy na seba vplývajú, alebo nie.

1. porozumieť pojmu opakovaný náhodný pokus,
2. rozlíšiť závislé a nezávislé javy,
3. určiť pravdepodobnosť súčasného nastania dvoch nezávislých javov,
4. riešiť jednoduché úlohy typu „aspoň raz“, „presne raz“, „presne $\small k$-krát“,
5. pochopiť zmysel Bernoulliho pokusov a binomického modelu v elementárnej podobe.

Definície.

1. $\small OP \;$: Opakovaný náhodný pokus je situácia, keď ten istý náhodný pokus vykonáme viackrát za rovnakých podmienok.
2. $\small NJ \;$: Nezávislé javy sú také javy, pri ktorých nastanie jedného javu neovplyvňuje pravdepodobnosť nastania druhého javu.
3. $\small BP \;$: Bernoulliho pokusy sú opakované pokusy, pri ktorých v každom pokuse nastáva buď úspech, alebo neúspech, pričom pravdepodobnosť úspechu je v každom pokuse rovnaká.

Motivačný príklad.
Mincou hodíme trikrát. Nezaujíma nás iba jeden hod, ale to, koľkokrát padne znak. Takáto situácia je typickým príkladom opakovaného náhodného pokusu.

Tvrdenie.
Ak sú javy $\small A$ a $\small B$ nezávislé, potom pre pravdepodobnosť ich súčasného nastania platí

Riešený príklad.
Mincou hodíme dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že v oboch hodoch padne znak?

Riešenie.
Označme: $\small A=\text{„v prvom hode padne znak“}, \qquad B=\text{„v druhom hode padne znak“}.$ Platí $\small P(A)=\frac{1}{2}, \qquad P(B)=\frac{1}{2}.$ Keďže ide o nezávislé javy, dostávame $\small P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$

Riešený príklad.
Hraciou kockou hodíme dvakrát. Aká je pravdepodobnosť, že v prvom hode padne šestka a v druhom hode párne číslo?

Riešenie.
Označme $\small A=\text{„v prvom hode padne šestka“}, \qquad B=\text{„v druhom hode padne párne číslo“}.$ Potom $\small P(A)=\frac{1}{6}, \qquad P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$ Keďže výsledok prvého hodu neovplyvňuje výsledok druhého hodu, javy sú nezávislé. Preto $\small P(A \cap B)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12}.$

Tvrdenie.
Ak chceme pri opakovaných pokusoch určiť pravdepodobnosť javu „aspoň raz“, býva výhodné použiť opačný jav:

Riešený príklad.
Mincou hodíme trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň raz padne znak?

Riešenie.
Označme jav $\small A=\text{„aspoň raz padne znak“}.$ Potom opačný jav je $\small A'=\text{„ani raz nepadne znak“},$ čiže vo všetkých troch hodoch padne číslo. Pravdepodobnosť tohto javu je $\small P(A')=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}.$ Preto $\small P(A)=1-P(A')=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$

Definícia.
Pri $\small n$ Bernoulliho pokusoch s pravdepodobnosťou úspechu $\small p$ je pravdepodobnosť neúspechu $\small q=1-p.$ Pravdepodobnosť, že úspech nastane presne $\small k$-krát, vyjadruje vzťah Tento vzťah nazývame binomický model.

Poznámka.
V školských úlohách často stačí tomuto vzťahu rozumieť takto:

1. $\small \binom{n}{k}$ udáva, koľkými spôsobmi možno rozmiestniť $\small k$ úspechov medzi $\small n$ pokusov,
2. $\small p^k$ vyjadruje pravdepodobnosť $\small k$ úspechov,
3. $\small q^{\,n-k}$ vyjadruje pravdepodobnosť zvyšných neúspechov.

Riešený príklad.
Mincou hodíme štyrikrát. Aká je pravdepodobnosť, že znak padne práve dvakrát?

Riešenie.
Tu je $\small n=4, \qquad k=2, \qquad p=\frac{1}{2}, \qquad q=\frac{1}{2}.$ Preto $\small P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^2.$ Keďže $\small \binom{4}{2}=6,$ dostávame $\small P(X=2)=6\cdot \frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.$

Riešený príklad.
Strelec trafí cieľ s pravdepodobnosťou $\small 0{,}8$. Strieľa trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že trafí cieľ práve dvakrát?

Riešenie.
Označme úspech ako zásah. Potom $\small n=3, \qquad k=2, \qquad p=0{,}8, \qquad q=0{,}2.$ Pravdepodobnosť je $\small P(X=2)=\binom{3}{2}(0{,}8)^2(0{,}2).$ Teda $\small P(X=2)=3\cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2=0{,}384.$

Tvrdenia.

1. Ak sú javy $\small A$ a $\small B$ nezávislé, potom $\small P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$.
2. Pri úlohách typu „aspoň raz“ je často výhodné počítať najprv pravdepodobnosť opačného javu.
3. Pri $\small n$ Bernoulliho pokusoch s pravdepodobnosťou úspechu $\small p$ a neúspechu $\small q=1-p$ platí: $\small P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{\,n-k}.$

Cvičenia.

1. Mincou hodíme dvakrát. Určte pravdepodobnosť, že:
   1. v oboch hodoch padne znak,
   2. práve raz padne znak,
   3. aspoň raz padne znak.
2. Hraciou kockou hodíme trikrát. Určte pravdepodobnosť, že šestka padne:
   1. práve raz,
   2. aspoň raz,
   3. ani raz.
3. Strelec zasiahne cieľ s pravdepodobnosťou $\small 0{,}7$. Strieľa štyrikrát. Určte pravdepodobnosť, že zasiahne cieľ práve trikrát.
4. Žiarovka je chybná s pravdepodobnosťou $\small 0{,}05$. Náhodne kontrolujeme 3 žiarovky. Aká je pravdepodobnosť, že presne jedna z nich bude chybná?
5. Vysvetlite, prečo je pri úlohách typu „aspoň raz“ výhodné použiť opačný jav.

Poznámka pre študenta.
Pri opakovaných pokusoch sa oplatí postupovať takto:

1. určiť, čo je v úlohe úspech a čo neúspech,
2. zistiť, či jednotlivé pokusy možno považovať za nezávislé,
3. rozhodnúť, či ide o úlohu typu „presne“, „aspoň“, „najviac“,
4. zvoliť vhodný postup: priamy výpočet, opačný jav alebo binomický model.

Didaktická poznámka.
V tejto kapitole býva častou chybou, že študenti automaticky násobia pravdepodobnosti aj v situáciách, keď javy nie sú nezávislé. Preto je vhodné vždy najprv slovne posúdiť, či výsledok jedného pokusu ovplyvňuje ďalší pokus. Osobitne dôležité je rozlíšiť výbery s vracaním a bez vracania.