Kombinatorika

Kombinatorické metódy v pravdepodobnosti

V predchádzajúcej kapitole sme určovali pravdepodobnosť najmä v jednoduchých situáciách, keď bolo možné priamo vypísať všetky výsledky náhodného pokusu. V mnohých úlohách to však už nie je praktické. Ak vyberáme niekoľko prvkov, tvoríme dvojice, trojice, poradovníky alebo kódy, počet možností rýchlo rastie. Práve vtedy vstupuje do hry kombinatorika.

Kombinatorické metódy nám umožňujú prehľadne a systematicky spočítať počet všetkých možností a zároveň aj počet priaznivých prípadov. Tým sa stávajú prirodzeným nástrojom pri riešení úloh z pravdepodobnosti.

Didakticky je dôležité, aby si študent nevšímal iba vzorec, ale najmä otázku: „Čo vlastne počítam? Záleží na poradí? Môže sa prvok opakovať?“ Práve tieto tri otázky rozhodujú o správnom výbere kombinatorickej metódy.

1. rozhodnúť, či pri počítaní možností záleží na poradí,
2. rozlišovať usporiadané a neusporiadané výbery,
3. určiť počet všetkých možností pomocou jednoduchých kombinatorických pravidiel,
4. využiť kombinatoriku pri výpočte pravdepodobnosti,
5. riešiť úlohy s výberom prvkov, usporiadaním a zostavovaním skupín.

Definícia.
Pri riešení mnohých úloh z pravdepodobnosti potrebujeme určiť:

• počet všetkých možných výsledkov,
• počet priaznivých výsledkov pre daný jav.

Ak tieto počty nevieme jednoducho vypísať, využívame kombinatorické metódy.

Tvrdenie.
Pri výbere vhodnej kombinatorickej metódy si treba položiť tri základné otázky:

1. Záleží na poradí?
2. Môžu sa prvky opakovať?
3. Koľko prvkov vyberáme?

Odpoveď na tieto otázky určuje správny spôsob počítania.

Motivačný príklad.

1. Zo skupiny 5 žiakov chceme vybrať jedného zástupcu triedy. Koľko možností máme?
2. Zo skupiny 5 žiakov chceme vybrať predsedu a podpredsedu triedy. Koľko možností máme?

Riešenie.

1. Vyberáme práve jedného žiaka z piatich, preto existuje $5$ možností.
2. Na predsedu môžeme vybrať 5 žiakov. Potom na podpredsedu zostávajú 4 žiaci. Preto počet možností je $5 \cdot 4 = 20.$ Tu už záleží na poradí, lebo dvojica „predseda – podpredseda“ nie je to isté ako „podpredseda – predseda“.

Definícia.
Ak sa výber uskutočňuje v niekoľkých krokoch za sebou, počet všetkých možností získame pomocou pravidla súčinu:

Ak prvý krok možno vykonať $m$ spôsobmi a po každom z nich druhý krok $n$ spôsobmi, potom oba kroky spolu možno vykonať $m \cdot n$ spôsobmi.

Riešený príklad.
Koľko dvojciferných čísel možno vytvoriť z číslic $1,2,3,4$, ak sa číslice nesmú opakovať?

Riešenie.
Na miesto desiatok môžeme zvoliť 4 číslice. Na miesto jednotiek potom zostávajú 3 číslice. Preto hľadaný počet je $4 \cdot 3 = 12.$

Definícia.
Permutácie sú rôzne usporiadania všetkých prvkov danej množiny.

Počet permutácií $n$ rôznych prvkov je $n!.$

Riešený príklad.
Koľkými spôsobmi možno usporiadať 4 rôzne knihy na poličke?

Riešenie.
Ide o permutácie 4 prvkov, preto $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.$

Definícia.
Variácie bez opakovania sú usporiadané výbery $k$ prvkov z $n$ rôznych prvkov, pričom žiadny prvok nevyberáme viackrát.

Ich počet je $\small  V(n,k)=\normalsize n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1).$

Riešený príklad.
Koľko trojmiestnych čísel možno vytvoriť z číslic $1,2,3,4,5$, ak sa číslice neopakujú?

Riešenie.
Na prvé miesto možno zvoliť 5 číslic, na druhé 4 a na tretie 3. Preto $\small  V(5,3)=\normalsize 5 \cdot 4 \cdot 3=60.$

Definícia.
Kombinácie bez opakovania sú neusporiadané výbery $k$ prvkov z $n$ rôznych prvkov.

Ich počet je $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Riešený príklad.
Zo 7 žiakov máme vytvoriť trojčlennú skupinu. Koľko rôznych skupín možno vytvoriť?

Riešenie.
Na poradí členov skupiny nezáleží, preto ide o kombinácie: $\binom{7}{3}=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}=35.$

Tvrdenie.
Ak sú všetky výsledky náhodného pokusu rovnako možné, potom pravdepodobnosť javu $A$ môžeme počítať vzťahom $P(A)=\frac{\text{počet priaznivých výsledkov}}{\text{počet všetkých výsledkov}}.$ Práve kombinatorika často umožní určiť oba tieto počty.

Riešený príklad.
Z urny s 5 bielymi a 3 čiernymi guľôčkami náhodne vyberieme 2 guľôčky naraz. Aká je pravdepodobnosť, že obe budú biele?

Riešenie.
Počet všetkých možností výberu 2 guľôčok z 8 je $\binom{8}{2}=28.$ Počet priaznivých možností, keď vyberieme 2 biele zo 5, je $\binom{5}{2}=10.$ Preto $\small  P(A)=\normalsize \frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}.$

Riešený príklad.
Z balíčka 32 kariet vytiahneme naraz 2 karty. Určte pravdepodobnosť, že obe budú esá.

Riešenie.
Počet všetkých dvojíc kariet je $\binom{32}{2}=496.$ Počet priaznivých dvojíc, v ktorých vyberieme 2 esá zo 4, je $\binom{4}{2}=6.$ Pravdepodobnosť je $\small  P(A)=\normalsize \frac{6}{496}=\frac{3}{248}.$

Cvičenie.

1. Koľko trojmiestnych čísel možno vytvoriť z číslic $2,3,4,5$, ak sa číslice neopakujú?
2. Koľkými spôsobmi možno usadiť 5 žiakov do jednej lavice v rade?
3. Zo 10 študentov vyberáme 2 zástupcov. Koľko rôznych dvojíc možno vytvoriť?
4. Z krabice, v ktorej sú 4 červené a 6 modrých guľôčok, vyberieme naraz 2 guľôčky. Určte pravdepodobnosť, že obe budú modré.
5. Z balíčka 32 kariet vytiahneme naraz 3 karty. Určte pravdepodobnosť, že medzi nimi bude práve jedno eso.
6. Vysvetlite, prečo pri tvorbe trojčlennej skupiny zo 7 žiakov používame kombinácie, ale pri voľbe predsedu, podpredsedu a zapisovateľa zo 7 žiakov používame variácie.

Poznámka pre študenta.
Pri úlohách z kombinatoriky a pravdepodobnosti sa osvedčuje tento postup:

1. premyslieť, čo predstavuje jeden výsledok pokusu,
2. rozhodnúť, či záleží na poradí,
3. určiť počet všetkých možností,
4. určiť počet priaznivých možností,
5. vypočítať pravdepodobnosť ako podiel týchto počtov.

Didaktická poznámka.
Jednou z najčastejších chýb študentov nie je samotné počítanie, ale nesprávne rozpoznanie typu výberu. Preto je vhodné viesť ich k tomu, aby pred použitím vzorca najprv slovne odpovedali na otázky: „Záleží na poradí?“ a „Môže sa prvok opakovať?“