Kombinatorika

Náhodné pokusy, náhodné javy a pravdepodobnosť

Pravdepodobnosť patrí medzi základné časti stredoškolskej matematiky. Opisuje situácie, v ktorých výsledok nevieme vopred presne určiť, ale vieme hovoriť o tom, ktoré výsledky sú možné a ako často možno jednotlivé javy očakávať. Typickými príkladmi sú hod mincou, hod kockou, ťahanie karty z balíčka alebo náhodný výber výrobku z výrobnej série.

1. rozlíšiť istý, nemožný a náhodný jav,
2. zapísať množinu všetkých možných výsledkov pokusu,
3. určiť pravdepodobnosť javu v jednoduchých prípadoch,
4. použiť základné vlastnosti pravdepodobnosti,
5. riešiť jednoduché úlohy s javmi $\small A$, $\small B$, $\small A'$ a $\small A \cup B$.

Definícia.

1. $\small NP \;$: Náhodný pokus je pokus alebo činnosť, ktorú možno za rovnakých podmienok opakovať, pričom jej výsledok nie je vopred jednoznačne určený.
   Príklady: hod mincou,  hod hracou kockou,  ťahanie jednej karty z balíčka,  náhodný výber žiaka zo skupiny.
2. $\small VP \;$: Množina všetkých možných výsledkov náhodného pokusu sa označuje symbolom $\small  \Omega$. Je to množina všetkých elementárnych výsledkov daného pokusu.
3. $\small NJ \;$: Náhodný jav je ľubovoľná podmnožina množiny $\small  \Omega$. Nastane vtedy, keď výsledok pokusu patrí do tejto podmnožiny.
   Ak $\small A \subseteq \Omega$, potom hovoríme, že $\small A$ je náhodný jav.

Riešený príklad.
Určte množinu všetkých možných výsledkov pri hode jednou hracou kockou.

Riešenie.
Pri hode hracou kockou môžu padnúť čísla 1 až 6, preto $\small  \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}.$

Tvrdenie.
Medzi osobitné náhodné javy patria:

• istý jav: $\small  \Omega$,
• nemožný jav: $\small  \emptyset$,
• opačný jav k javu $\small A$: $\small A' = \Omega \setminus A$.

Riešený príklad.
Pri hode kockou uvažujme jav $\small A$: „padne párne číslo“ a jav $\small B$: „padne číslo deliteľné tromi“.

Riešenie:
$\small  \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}, \quad A=\{2,4,6\}, \quad B=\{3,6\}.$
Opačný jav k javu $\small A$ je $\small A'=\{1,3,5\}, \quad$ Opačný jav k javu $\small B$ je ???

Definícia.
Ak sú všetky elementárne výsledky pokusu rovnako možné, potom pravdepodobnosť javu $\small A$ definujeme vzťahom kde $\small m(A)$ je počet výsledkov priaznivých javu $\small A$ a $\small m$ je počet všetkých možných výsledkov.

Riešené príklady.

1. Pri hode jednou hracou kockou určte pravdepodobnosť javu $\small A$: „padne číslo 6“.
2. Pri hode jednou hracou kockou určte pravdepodobnosť javu $\small B$: „padne párne číslo“.

Riešenia.

1. Množina všetkých výsledkov má 6 prvkov, priaznivý je iba jeden výsledok: $\small  m=6,\quad m(A)=1.$ Preto $\small P(A)=\normalsize \frac{1}{6}.$
2. Priaznivé výsledky sú $\small  \{2,4,6\}$, teda $\small m(B)=3,\quad m=6.$ Dostávame $\small  P(B)=\normalsize \frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$

Definícia.
Vo všeobecnejšom prípade nemusia byť všetky elementárne výsledky rovnako možné. Ak majú výsledky $\small  \omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n$ pravdepodobnosti $\small  p_1,p_2,\dots,p_n, \quad p_i \ge 0, \quad p_1+p_2+\cdots+p_n=1,$ potom pre jav $\small A \subseteq \Omega$ platí Táto situácia nastáva vtedy, keď jednotlivé elementárne výsledky nemajú rovnakú pravdepodobnosť.

Riešený príklad.
Automat na lístky sa pokazil. V polovici prípadov po vhodení mince nevydá nič, v jednej desatine prípadov vydá späť mincu aj lístok a v ostatných prípadoch vydá len lístok. Určte pravdepodobnosť javu $\small A$: „po vhodení mince žiak dostane lístok“.

Riešenie:
Označme: $\small  p_1=\frac{1}{2} \quad \text{(nevydá nič),} \quad p_2=\frac{1}{10} \quad \text{(vydá mincu aj lístok),}$ $\small  p_3 = 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5} \quad \text{(vydá len lístok).}$ Jav $\small A$ nastane v druhom alebo treťom prípade, preto $\small  P(A)=p_2+p_3=\frac{1}{10}+\frac{2}{5}=\frac{1}{2}.$

Tvrdenie.

1. Pre pravdepodobnosť ľubovoľného javu $\small A$ platí: $\small  0 \le P(A) \le 1.$ Okrem toho $\small  P(\emptyset)=0, \quad P(\Omega)=1.$
2. Pre opačný jav $\small A'$ platí $\small  P(A)+P(A')=1,$ teda aj $\small  P(A')=1-P(A).$
3. Pre ľubovoľné dva javy $\small A$, $\small B$ platí $\small P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).$ Ak sa javy $\small A$ a $\small B$ navzájom vylučujú, teda $\small A \cap B=\emptyset$, potom $\small  P(A \cup B)=P(A)+P(B).$

Riešený príklad.
Aká je pravdepodobnosť, že pri dvoch hodoch hracou kockou padne aspoň jedna šestka?

Riešenie:
Výhodné je použiť opačný jav. Označme $\small  A=\text{„padne aspoň jedna šestka“}.$ Potom $\small  A'=\text{„nepadne ani jedna šestka“}.$ Pravdepodobnosť, že pri jednom hode nepadne šestka, je $\small \frac{5}{6}$. Pri dvoch nezávislých hodoch je teda $\small P(A')=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}.$ Preto $\small  P(A)=1-P(A')=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.$

Cvičenia.

1. Pri hode mincou zapíšte množinu všetkých možných výsledkov a určte pravdepodobnosť javu:
   $\small A=\text{„padne znak“}.$
2. Pri hode jednou hracou kockou určte pravdepodobnosť týchto javov:
   1. $\small A=\text{„padne číslo menšie ako 5“},$
   2. $\small B=\text{„padne nepárne číslo“},$
   3. $\small C=\text{„padne číslo deliteľné tromi“}.$
3. Pri dvoch hodoch hracou kockou určte pravdepodobnosť javu:
   $\small A=\text{„súčet padnutých bodov je 7“}.$
4. Z balíčka 32 kariet náhodne vytiahneme jednu kartu. Určte pravdepodobnosť javu:
   $\small A=\text{„vytiahneme srdcovú kartu“}.$
5. V triede je 12 dievčat a 8 chlapcov. Náhodne vyberieme jedného žiaka. Určte pravdepodobnosť javu:
   $\small A=\text{„vybraný žiak je dievča“}.$
6. Doplňte:
   1. Ak $\small P(A)=\frac{3}{8}$, potom $\small P(A')=$ ?
   2. Ak $\small P(A)=0{,}4$, potom $\small P(A')=$ ?
   3. Ak $\small A$ a $\small B$ sú navzájom sa vylučujúce javy, vyjadrite $\small P(A \cup B)$.

Poznámka pre študenta.
Pri riešení úloh z pravdepodobnosti je vhodné postupovať v troch krokoch:

1. určiť množinu všetkých možných výsledkov,
2. vybrať priaznivé výsledky pre daný jav,
3. použiť vhodný vzorec pre pravdepodobnosť.