Seminárne zadania 2

Matematická olympiáda - kategória B, A 
  1. Nech S je stred prepony AB pravouhlého trojuholníka ABC , ktorý nie je rovnoramenný. Označme D pätu výšky z vrcholu C a R priesečník osi vnútorného uhla pri vrchole C s preponou AB . Určte veľkosti vnútorných uhlov tohto trojuholníka, ak platí |SR|= 2|DR| (MO, kat. B, 2014/15).
    2. Riešenie
    1. Trojuholník ASC je rovnoramenný (bod S je stredom Tálesovej kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku ABC ). Preto uhly ACS, BAC majú rovnakú veľkosť.
    2. Pravouhlé trojuholníky ABC , CBD sa zhodujú vo vnútornom uhle pri vrchole B , sú teda podobné. Z toho vyplýva zhodnosť uhlov BAC, BCD.
    3. Uhly ACS, BCD sú teda zhodné a menšie ako 45^◦ , takže ich do pravého uhla ACB dopĺňa nenulový uhol SCD , ktorého os je navyše zhodná s osou celého uhla ACB , čo je polpriamka CR . Zároveň z toho vyplýva aj zhodnosť uhlov SCR, DCR (a tiež to, že bod R leží medzi bodmi S a D ).
    4. Označme P stred úsečky SR a Q pätu kolmice z bodu R na priamku SC .
    5. Pravouhlé trojuholníky CQR, CDR s pravými uhlami pri vrcholoch Q, D sa zhodujú vo veľkostiach vnútorného uhla pri vrchole C a v dĺžke (spoločnej) prepony CR ,sú preto zhodné.
    6. Podľa predpokladu úlohy tak platí |QR| = |DR| = 1/2|SR| = |PR| . To znamená, že trojuholník PRQ je rovnostranný, takže \angle PRQ = 60^ \circ , \angle RSQ = 30^ \circ , \angle SCD = 60^ \circ . Keďže uhol pri vrchole C je pravý, vychádza \angle BAC =\angle ACS = 15^ \circ ,\angle ABC= 75^ \circ
  2. Označme M stred strany AB ľubovoľného trojuholníka ABC . Dokážte, že rovnosť |\angle ABC|+|\angle ACM|=90^\circ platí práve vtedy, keď je trojuholník ABC rovnoramenný so základňou AB alebo pravouhlý s preponou AB . (MO, kat. A, školské kolo, 2013/14).
    3. Riešenie
  3. Nájdite ďalšie úlohy z MO k téme Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami.
\( .\)