TeX zápisy

Matematický text zásadne píšeme pomocou programu TeX. Uvádzame jednoduchý matematický text:
Využitím vzťahu (1) môžeme výraz upraviť na tvar:
\frac{1}{n-r}  + \frac{1}{r}.
Iné formátovanie:
Po jednoduchej úprave dostaneme výraz:
(x^2 – 1) + \frac { \sqrt [2] {( x – 1)}}{1 – x^2} .
\( .\)
Cvičenie.
Zapíšte dôkaz matematickej vety.
Veta.
Pre kombinačné číslo platí: \binom {n} {r} = \frac{n!}{(n-r)!\; r!}
Dôkaz.
  1. Pre r = 0 pravdivosť tvrdenia je zrejmá.
  2. Predpokladajme, že platí 1 \leq r \leq n . Budeme dokazovať indukciou vzhľadom na číslo n.
    • Overenie pravdivosti tvrdenia v prípade n = 1 prenechávame na čitateľa.
    • Predpokladajme, že tvrdenie platí pre k \leq n - 1. Dokážeme, že potom platí aj pre k = n.
  3. Na základe predchádzajúceho dôsledku platí: \binom {n} {r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r} .
  4. Na základe indukčného predpokladu môžeme tento súčet ďalej upraviť: = \frac{(n-1)!}{(n-r)!\; (r-1)!} + \frac{(n-1)!}{(n-1-r)!\; (r-1)!} (\frac{n}{n-r} + \frac{1}{r}) = \frac{(n-1)!}{(n-1-r)!\; (r-1)!} \frac{n}{(n-r)\;r} = \frac{n!}{(n-r)!\; r!}
Poznámka.
Všimnite si zaujímavý fakt: \frac{n!}{(n-r)!\; r!} je celé číslo pre ľubovoľné n a r, 1\leq r \leq n.
Ukážka prezentácie v \small TeX . Otvorte si súbor Tu.
\( .\)