Didaktika matematiky

Násobenie. Súčin dvoch prirodzených čísel počítali starí Egypťania zaujímavou metódou. Jedného z činiteľov (najčastejšie väčšieho) postupne zdvojnásobovali, prípadne používali aj iné násobky.

Príklad. Vypočítajte súčin $\small 84 \times 14$

Egyptské riešenie.
Výpočet $\small 84 \times 14$ na Rhindovom papyruse č. 69 vychádza z egyptskej metódy násobenia, ktorá používala postupné násobenie dvojkou a sčítanie relevantných častí.

1. Rozklad čísla $\small 14$ pomocou mocnín dvojky. Egyptskí pisári rozkladali čísla ako súčet mocnín dvojky. Číslo $\small 14$ možno vyjadriť ako: $\small 14 = 8 + 4 + 2$
2. Vytvoríme tabuľku zdvojovania čísla $\small 84$:
   
   

   	Násobok	Čísla	$\qquad$	Výsledok
   	1	80		80
   	2	80		160
   	4	80		320
   	8	80		640

   Tabuľka: Dvoj-násobky čísla 80, staroegyptské násobenie.

Delenie. Delenie prevádzali Egypťania podobnou metódou. Deliteľa postupne zdvojnásobovali resp. použili iné vhodné násobky. Postupovali dovtedy, kým z jeho vybraných násobkov nezložili delenca. Napríklad v úlohe (Rhindov papyrus úloha R69) je zachytené delenie čísla 1120 číslom 80.

Príklad. Vypočítajte podiel $\small 1120 \times 80$

Tabuľka: Vhodné násobky čísla 80, staroegyptské delenie.

Sčítanie vybraných hodnôt. Číslo 1120 je súčtom 10-násobku čísla 80 a 4-násobku čísla 80. Preto vyberieme tie riadky, ktoré zodpovedajú rozkladu čísla:
$\small 1120=800+320=10 \times 80+4 \times 80$
Výsledok: 1120 : 80 = 14

Preskúmajme, čo sa stane, keď delenie nie je bezo zvyšku. Táto situácia nás privedie k jednej z najviac prepracovanej metóde egyptskej matematiky. K číselnému oboru, k zlomkom.

Vypočítajte $\small 43 \div 8:= \frac{43}{8}$.
Ľahko zistíme, že $\small 40 = 8 + 32$. Súčtu $\small 8 + 32$ odpovedá v ľavej časti tabuľky súčet $\small 1+4 =5$.Do hodnoty $\small 43$ nám ešte chýba hodnota $\small 3$. K tomu vytvoríme ešte jednu tabuľku (pravá časť) odpovedá súčet: $\small 1+2= \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$. Záver:
$\small 43 \div 8=5+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8}$

Úloha R21: Súčet $\small \frac{1}{3}+\frac{1}{15}$ doplňte do 1.

Riešenie.

	Číslo	Číslo	$\qquad$	Výsledok
	$\frac{1}{15}$	15		1
	$\frac{1}{15}$	15		1
	$\frac{1}{5}$	15		3
	$\frac{1}{3}$	15		5
	Spolu      súčet	$\qquad$	$\qquad$	Výsledok
	$2 \times \frac{1}{15}+\frac{1}{5}+2 \times \frac{1}{3}$			$\frac{1}{15}  \times 15= 1$

Zrejme platí:
$\small 2 \times \frac{1}{15}+\frac{1}{5}+2 \times \frac{1}{3} =1$.
Výsledok.
$\small 1-(\frac{1}{3}+ \frac{1}{15})= \frac{1}{15}+\frac{1}{5}+ \frac{1}{3}$.