Didaktika matematiky

$\small 1;24,51,10 \quad \quad \left( 1 \quad 24 \quad 51 \quad 10 \quad :=\quad 1+ \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2}+ \frac{10}{60^3}\right)=1,41421296$ .

$\small 30 \times (1;24,51,10) \quad \normalsize {\text{ je presne}} \quad \small (42,25,35)= 0,70710648$ .

Tablet YBC 7289

Pokúsme sa určiť metódu, pomocou ktorej Babylončania aproximovali uhlopriečku štvorca pomocou hodnoty (42,25,35).

Nasledujúce zdôvodnenie vychádza z práce [BEC, 2003].

Na základe mnohých nájdených hlinených tabuliek usudzujeme, že mezopotámski počtári pravdepodobne vedeli aproximovať druhú odmocninu ľubovoľne zvoleného čísla $\small A$, ktoré nie je mocninou prirodzeného čísla. Aproximáciu založili na postupných iteráciách.

1. Najskôr číslo $\small A$ vyjadrili pomocou vzťahu $\small A = a^2+b$, kde $\small a,b$ sú prirodzené čísla. Na základe zápisov na Tablete YBC 7289 môžeme tvrdiť, že počtári toho obdobia vychádzali z možnosti vyjadriť číslo $\small A$ ako súčet $\small A = a^ 2 +b$, kde $\small a, b$ sú prirodzené čísla.
2. Prirodzené číslo určili tak, aby platilo $\small a^2 < A < (a+1)^2$, čo pre Mezopotámcov to nebol problém.
3. Potom $\small \sqrt{A}$ pomocou zaujímavých vzťahov ohraničili zhora takto:
   $\small \sqrt{A}= \sqrt{{a^2} + b } \lt\sqrt{{a^2} + b + \frac{b^2}{4a^2}}=a+\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\left(a+\frac{b}{a}+a\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{a}+a\right)$.
4. Zároveň Babylončania vedeli, že číslo $\small A$ sa dá vyjadriť aj pomocou vzťahu $\small A = a^2-b$ a podobnými úpravami dospeli k analogickému ohraničeniu :
   $\small \sqrt{A}= \sqrt{{a^2} - b } \lt\sqrt{{a^2} - b + \frac{b^2}{4a^2}}=a-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\left(a-\frac{b}{a}+a\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{A}{a}+a\right)$.
5. Mezopotámski počtári potom pre lepšiu aproximáciu použili iteráciu pomocou metódy priemeru (Základný koeficient iterácií je $\frac{1}{2}$, preto arotmetický priemer). Viac pozrite v práci (BEC, 2003) kapitola "Matematika ve staré Mezopotámii".
   • najskôr určili hodnotu prvej iterácie: $\small a_1 = \frac{1}{2} \left(a + \frac{A}{a}\right)$
   • potom určili hodnotu druhej iterácie: $\small a_2 = \frac{1}{2} \left(a_1 + \frac{A}{a_1}\right)$
   • atď.

Použime túto metódu na výpočet aproximácie $\small \sqrt{2}$.
$\small \sqrt{2} = \sqrt{1 + 1} \approx \frac{1}{2} (2 + 1) = \frac{3}{2} = 1.5,$ čo v šesťdesiatkovej sústave zapisujeme ako $\small (1;30).$
Ak mezopotámski počtári zobrali ako prvý odhad práve túto hodnotu (túto hypotézu potvrdzuje výpočet na tabuľke YBC 7289), tak dostali hodnotu
$\small a_1 = (1;30) = 1.5.$
Následne mohli vypočítať číslo $\small \frac{A}{a_1}$ tak, že pomocou recipročných tabuliek (mnohé boli objavené vo forme hlinených tabuliek) našli prevrátenú hodnotu k $\small (1;30)$ a vynásobili ju číslom $\small A = 2$. Prevrátená hodnota je $\small (0;40)$, po zdvojnásobení dostali číslo $\small (1;20)$.
Po určení aritmetického priemeru čísel $\small (1;20)$ a $\small a_1 = (1;30)$ dostali druhý odhad:
$\small a_2 = (1;25) = 1.416.$
V dnešnej terminológii
$\small a_2 = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{2}{\frac{3}{2}}\right)=1.416$
Túto hodnotu možno nájsť na niektorých tabuľkách z druhého tisícročia pred n. l. Ak metódu priemeru použijeme ešte raz, dostaneme aproximáciu
$\small (1;24,51,10) = 1.414212963,$
pričom chyba je už len $\small 4.2 \times 10^{-5}\%$.

Poznámky.

1. V Mezopotámii používali buď hodnotu 1;25 alebo ako 1;24,51,10 pre odmocninu $\small \sqrt{2}$. Neexistuje však systematický záznam o tom, ako bola hodnota vypočítaná. Metódu, ktorú sme popísali vyššie ako aproximáciu, bola používaná na výpočty v dobe Chammurapiho. Je zapísaná napríklad na tabuľke YBC 7289, ktorá zachytáva vzťah medzi dĺžkou strany a dĺžkou uhlopriečky štvorca.
2. Jedna možná metóda, pre ktorú existujú nejaké textové dôkazy, vychádza z algebraickej identity $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. V ďalšej kapitole ukážeme, že takúto identitu Babylončania používali pri riešení niektorých typov kvadratických rovníc.

Cvičenie (Pre žiakov gymnázií).
Pomocou Babylonskej metódy aproximujte $\sqrt{3}$. Vykonajte aspoň dve iterácie - prvú a druhú aproximáciu. Používajte zápisy čísel v šesťdesiatkovej sústave.