Interaktívna geomeria

🔍 Rovnoľahlosť – keď sa svet zmenšuje alebo zväčšuje
Rovnoľahlosť je kľúčovým mostom medzi zhodnosťou a podobnosťou. Je to pohyb, pri ktorom sa nemení tvar, ale mierka. V prírode ju vidíme v tieni, v optike, ale aj v architektúre – modely a plány fungujú práve vďaka rovnoľahlosti. V tejto kapitole preskúmame, ako sa pomocou rovnoľahlosti transformujú trojuholníky a iné útvary do ich podobných obrazov.

Definícia (Podobné zobrazenie).
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky $\small AB$ je úsečka $\small A'B'$, ktorej veľkosť je $k$-násobkom veľkosti úsečky $\small AB$ ( $k > 0$ ).

V každom podobnom zobrazení platí:

• obrazom priamky $\small AB$ je priamka $\small A'B'$, obrazom rovnobežných priamok sú rovnobežné priamky,
• obrazom polpriamky $\small \overrightarrow{AB}$ je polpriamka $\small \overrightarrow{A'B'}$,
• obrazom opačných polpriamok sú opačné polpriamky,
• obrazom uhla $\small \angle AVB$ je uhol $\small \angle A'VB'$ zhodný s uhlom $\small \angle AVB$.

Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod $\small S$ a reálne číslo $\kappa, \kappa \neq 0$. Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie $\mathscr{H}(S, \kappa)$, ktoré priraďuje:

1. každému bodu $\small X ≠ S$ bod $\small X'$ tak, že $\small |SX'|= |\kappa|| SX|$, pre $\kappa >0$ leží $\small X'$ na polpriamke $\small \overrightarrow{SX}$, pre $\kappa < 0$ na polpriamke k nej opačnej,
2. bodu $\small S$ bod $\small S≡S'$.

Otvorte si applet Tu.

Poznámka.
Rovnoľahlosť $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$ je podobnosť s koeficientom $|\kappa|$. Pre $\kappa=1$ je identitou, pre $\kappa=-1$ rotáciou okolo $\small S$ o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode $\small S$ ).
Pre $\kappa≠ 1$ je jediným samodružným bodom stred $\small S$. Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od Martina Vinklera Tu.

Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.

Vľavo. V rovnoľahlosti platí: $\small  AB\; || \;A'B'$. Vpravo. Podobné zobrazenie zložené z rovnoľahlosti a otáčania.
Otvorte si applet Tu.

Veta (Rovnoľahlé útvary).
V rovnoľahlosti $\small \mathscr{H}(S, \kappa)$: $\small X \rightarrow X'$

1. každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
2. každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
3. každé dve nezhodné kružnice $\small (O_1,r_1),(O_2,r_2)$ sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na priamke prechádzajúcej stredmi oboch kružníc,
4. spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným $\small S_2$ a vonkajším $\small S_1$ stredom rovnoľahlosti).

Otvorte si applet Tu.

Veta(Podobné zobrazenie).
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti.

📏 Podobnosť v histórii
Už Euklides v Základoch (Kniha VI) systematicky využíva podobnosť trojuholníkov ako základ na odvodenie mnohých geometrických viet. Jeho definície podobnosti boli neskôr precizované pomocou rovnoľahlostí v období analytickej geometrie. Renesanční architekti ako Alberti využívali koncepty rovnoľahlosti pri perspektívnych zobrazeniach ešte pred ich formálnym pomenovaním.

Príklad (Využitie rovnoľahlosti).
Sú dané dva rôzne body $\small A,M$, ktorých vzdialenosť je $d$. Ďalej je dané kladné číslo $v$. Zostrojte kosoštvorec $\small ABCD$ s výškou $v$ tak ,aby bod $\small M$ bol stredom jeho strany $\small BC$.

Otvorte si rozbor úlohy Tu. Riešenie v práci [KRIZ], príklad 103.