Interaktívna geomeria

Keď sa povie „veta o obvodových uhloch“, mnohým sa vybaví školská fráza: „obvodový uhol je polovicou stredového.“ No táto veta je v skutočnosti bránou do sveta kruhových geometrických závislostí.

📜 Z dejín geometrie
Veta o obvodových uhloch je známa už od čias Thalesa (6. stor. pred n. l.), ktorý objavil, že uhol opísaný nad polomerom kružnice je pravý. Euklides túto vetu uvádza vo svojej tretej knihe Základov (Propozície 20 a 21). Arabskí astronómovia 10. storočia (Al-Battani, Al-Kashi) používali túto vetu na výpočty uhlov vo sférickej astronómii.

Vďaka kombinácii dôkazu a experimentovania so softvérom GeoGebra je možné viesť žiakov k formulovaniu hypotéz a ich overovaniu. Dôkaz v duchu Euklida ukazuje, ako sa matematické deduktívne myslenie rozvíjalo z intuitívnych pozorovaní. Nech je daná kružnica $\small k=( S, \normalsize r)$ a tri rôzne body $\small A, B, C \in \normalsize k$. Budeme skúmať v akom metrickom vzťahu je stredový uhol $\omega=\small ∡ASB$ k obvodovému uhlu $\alpha=\small ∡ACB$. Obidva uhly prislúchajú k oblúku $\delta=\small \widehat{AB}$. Pozrite obrázok "Stredový a obvodový uhol". Je zrejmé, že pevne zvolenému oblúku $\delta$ prislúcha jeden stredový uhol ∡ ASB a nekonečne veľa obvodových uhlov ∡ACB (C je ľubovoľný bod na kružnici okrem bodov na oblúku $\small \widehat{AB}$).

Obr. Stredový a obvodový uhol.

Pri hľadaní vzájomného vzťahu medzi obvodovým a stredovým uhlom využijeme GeoGebra applet z obrázka "Vzťah medzi stredovým a obvodovým uhlom", ktorý je dostupný na adrese https://www.geogebra.org/m/jscdukjc. Spolu so žiakmi v triede experimentujeme. Meníme polohu bodu $\small C$ a pre každú polohu (iteráciu) bodu $\small C$ určíme veľkosť obvodového uhla. Niekoľko nezávislých iterácií nám umožní formulovať hypotézu: Dokonca náš experiment ukazuje, že táto konštantná veľkosť je rovná polovici veľkosti odpovedajúceho stredového uhla. Hypotézu teraz sformulujeme ako matematickú vetu a pokúsime sa ju dokázať klasickou euklidovskou konštrukciou. Predpokladajme na chvíľu, že vetu máme už dokázanú. V takom prípade sa nám "ponúka" myšlienka "Ako zostrojiť oblúk kružnice, z ktorého "vidieť danú úsečku $\small AB$ pod vopred daným uhlom". Táto konštrukcia je pomerne známa, uvádzame najčastejšie používanú konštrukciu vytvorenú v prostredí GeoGebra. Nami vytvorená konštrukcia je dostupná na adrese 
https://www.geogebra.org/m/j7agbgqy.

Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.

Obr. Vzťah medzi stredovým a obvodovým uhlom. Otvorte motivačný applet Tu.

Dôkaz vety o obvodových uhloch sa v rovinnej geometrii realizuje v troch etapách. V tejto práci sa budeme opierať o Euklidove Základy a dôkaz rozdelíme na tri nezávislé prípady:

1. Stred $\small S$ kružnice $\small k=( S, \normalsize r)$ je vnútorný bod obvodového uhla $\small ∡ACB$.
2. Stred $\small S$ leží na niektorom ramene obvodového uhla $\small ∡ACB$.
3. Stred $\small S$ je vonkajší bod uhla.

Euklides pri dokazovaní tvdenia o obvodových uhloch využíva nám už dobre známe tvrdenia zo Základov

1. "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú." (Kniha 1, Tvrdenie V).
2. "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch." (Kniha 1, Tvrdenie XII).

Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:

Dôsledok.
Vonkajší uhol pri hlavnom vrchole rovnoramenného trojuholníka je rovný dvojnásobku veľkosti uhla pri jeho základni.

Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ je vnútorný bod uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Podľa dôsledku veľkosť vonkajšieho uhla $\small \angle ASC_1$ trojuholníka $\small ASC$ pri vrchole $\small S$ je rovná dvojnásobku veľkosti uhla $\small \angle SCA$ pri základni rovnoramenného trojuholníka $\small ASC$. Podobne pre trojuholník $\small BSC$ platí $\small \angle BSC_1$=2.$\small \angle SCB$. Odtiaľ dostávame $\small \angle ASB$=2.$\small \angle ACB$.

Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech $\small S$ leží na ramene uhla $\small ∡ACB$. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je tiež polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Nech body $\small B, S, C$ sú kolineárne. Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.

Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol $\small ACB$ je polovicou stredového uhla $\small ASB$.

Zrejme platí $\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta$.  Pozrite si zaujímavý konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Každý prípad je vhodný na samostatné skupinové spracovanie – žiaci môžu porovnať dôkaz s dynamickým pozorovaním.

Ak body $\small A, B$ sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.

Definícia.
Množina vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou $\small AB$ je kružnica $k$ s priemerom $\small AB$ okrem bodov $\small A, B$. Kružnicu $k$ nazývame Thálesova kružnica.