Interaktívna geomeria

V predchádzajúcich kapitolách sme charakterizovali euklidovské konštrukcie, ktoré používajú len ideálne pravítko a kružidlo. Pomocou týchto nástrojov je možné zostrojiť rôzne geometrické útvary, ktoré si nevyžadujú požitie rovnobežky. Euklidovské konštrukcie zohrávajú dôležitú úlohu v každej geometrii, teda aj v hyperbolickej geometrii reprezentovanej Poincaré modelom. 
Ak chceme v Poincaré modeli konštruovať, tak najskôr musíme popísať do akých útvarov sa zobrazia útvary z hyperboloidu do otvoreného kruhu. Na to, aby sme v Poincarého modeli vedeli rysovať, potrebujeme vedieť, ako sa základné útvary hyperbolickej geometrie premietajú do roviny disku.

1. Bod hyperboloidu?
2. Hyperbola hyperboloidu určená dvoma bodmi?
3. Kružnica hyperboloidu určená troma bodmi neležiacimi na hyperbole?

Uvedieme niekoľko tvrdení a ich konštrukčné dôkazy. Priemet každého bodu hyperboloidu sa zobrazuje do vnútorného bodu disku – ide o základnú vlastnosť stredového premietania. 

Tvrdenie (Priemet priamky).
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$.

Pri dôkaze tohto tvrdenia je nutné najskôr dokázať vlastnosť, že súčin
$a_1 \times a_2=\frac{1}{r}(\sqrt{r²+1}-1) \times \frac{1}{r}(\sqrt{r²+1}+1)=1$
je konštantný. Konštrukčné zdôvodnenie tejto vlastnosti prezentuje applet z obrázka "Priemet hyperboly I.".

Poincaré diskový model môžeme reprezentovať v euklidovskej rovine ako otvorený kruh $\omega = \lbrace{x^2+y^2 \lt 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$. Pre uľahčenie práce v Poincaré modeli bude vhodné podrobne popísať konštrukčné kroky na zostrojenie základných geometrických útvarov

• úsečky
• priamky
• kružnice

Zostrojiť bod v Poincaré modeli znamená zostrojiť bod vo vnútri kruhu ω, čo nie je triviálne.
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma vnútornými bodmi kruhu použijeme kruhovú inverziu, pozri obrázok "Priemet hyperboly II.". 
Okrem konštrukcie h-priamky musíme popísať aj konštrukciu h-kružnice a ďalších dôležitých útvarov (kolmica, os úsečky a pod).

Nech sú dané dva rôzne body $\small StredKružnice$ a bod $\small  A \equiv$ $\small BodKružnice$ na hyperboloide $\small HYP$. Uvažujme o množine všetkých bodov
$\small k_{HYP}=\lbrace{X \in HYP;\; d(X, A)=konst.}\rbrace$
hyperboloidu, pre ktoré vzdialenosť od pevného bodu $\small StredKružnice$ je konštantná. Množina $\small k_{HYP}$ je v zmysle Euklidovskej definície kružnica. V skutočnosti je to priestorová krivka, ktorá má "kružnicovú" vlastnosť, t.j vzdialenosť od pevného bodu je konštantná. Aj keď ide o priestorovú krivku, ktorú euklidovský pozorovateľ nemusí vnímať ako kružnicu, jej vlastnosť „rovnaká vzdialenosť od stredu“ zostáva zachovaná v hyperbolickej metrike.

Tvrdenie (Priemet kružnice).
Priemetom kružnice $\small k_{HYP}$ do stredovej roviny (do Poincaré disku $\small \omega= \lbrace{x^2+y^2 \lt 1; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$) je tiež kružnica.

Dôkaz tvrdenia "Priemet kružnice" si môžete prezrieť napríklad v práci [GRE, 1994]. Vysvetlivky k appletu z obrázka "Priemet kružnice":

1. Bod $\small B \in HYP$ je symetricky položený k bodu $\small A$ voči stredu kružnice $\small k_{HYP}$.
2. Uvažujme o rovine $\rho$, ktorá je určená bodmi $\small A,StredKružnice$ a bodom StredPremietania.
3. Rovina $\rho$ bude pretínať daný hyperboloid v hyperbole (na obrázku červená krivka).
4. Dotyčnice k tomuto rezu (k hyperbole) zostrojené v bodoch $\small A,B$ sa pretínajú v bode $\small S_1$.

Poznámka.
Na základe tvrdenia "Priemet kružnice" môžeme vytvoriť konštrukciu, pomocou ktorej zostrojíme kružnicu v Poincaré disku určenú stredom $\small S$ a bodom $\small A$.

Didaktická poznámka:
Učitelia a študenti, ktorí sa prvýkrát stretávajú s hyperbolickým modelom, bývajú prekvapení, že „priame“ priamky sú vlastne kružnicové oblúky.
Práca v Poincarého disku je náročná najmä preto, že klasické euklidovské konštrukcie strácajú priamu vizuálnu platnosť. GeoGebra preto zohráva dôležitú úlohu – umožňuje:

• sledovať dynamiku útvarov pri transformácii,
• testovať platnosť axióm v hyperbolickom prostredí,
• nadväzovať na známe konštrukcie pomocou nových pravidiel.

Táto skúsenosť pomáha študentom pochopiť univerzalitu geometrických princípov, a zároveň ich flexibilitu v rôznych modeloch.

Zhrnutie
Vďaka presnej analýze priemetov priamok a kružníc z hyperboloidu vieme, ako reprezentovať a konštruovať základné geometrické objekty v Poincarého modeli. V ďalšej časti predstavíme nové nástroje v GeoGebre, ktoré tieto konštrukcie zjednodušia – čím sa hyperbolická geometria stane dostupnejšou aj pre bežné didaktické účely.