Interaktívna geomeria

Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku $\omega = \lbrace{x^2+y^2 \lt; 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$.

Riešené úlohy z neeuklidovskej geometrie.

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ pomocou hyperbolických kružníc $\small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB)$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I). Riešenie Tu.
2. Zostrojte rovnoramenný trojuholník $\small ABC$ so základňou $\small AB$ pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AB, AC$ a k hPriamkam $\small AB, BC$ určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú priamku $\mu \subset \omega$, ktorá je osou úsečky $\small \alpha =AB$, kde $\small A,B \in \omega$. Riešenie Tu.
4. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.

Návrhy na samostatnú prácu

1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholníky $\small ABC, ABC'$, kde $\small C'$ je súmerný bod podľa priamky $\small AB$.
2. V trojuholníku $\small ABC$ zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi $\small C,C'$.
3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
4. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá neprechádza bodom $\small P \notin \alpha$.
   Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
5. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka $\small ABC$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).

Poznámky.

1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
2. Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka $\small ABC$ je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice $k$ a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
3. Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.