Metrické vzťahy

Guľa - objem

Tvrdenie.
Pre objem gule platí vzťah \small V= \frac{4}{3} \pi r^3 .
Dôkaz pomocou Cavalieriho princípu.
Cavalieriho princíp (viac o princípe nájdete Tu) hovorí, že ak dva telesá majú rovnaké prierezové plochy v každej rovine rovnobežnej so základňou, potom majú rovnaký objem. Pre telesá na obrázku platí:
  1. Ľavý obrázok zobrazuje polguľu s polomerom \small r .
  2. Pravý obrázok ukazuje valec s rovnakým polomerom \small r a výškou \small r , pričom v jeho vnútri je vyrezaný kužeľ s rovnakou základňou a výškou.

Obrázok znázorňuje Cavalieriho princíp, ktorý sa používa na dôkaz objemu gule porovnaním s valcom a kužeľom. Pozrite tiež Tu.
Prierezy v rovnakej výške \small h (pomocná konštrukcia Tu):
  1. Naľavo: Prierez gule v určitej výške \small h je kruh s polomerom \small x , kde podľa Pytagorovej vety platí:
    \small x^2 + h^2 = r^2 \Rightarrow x = \sqrt{r^2 - h^2}.
    Plocha prierezu je teda:
    \small \pi x^2 = \pi (r^2 - h^2).
  2. Napravo: Prierez valca má polomer \small r , ale odrátava sa kužeľ s polomerom \small y , kde platí (podobnosť trojuholníkov - kužeľ a jeho rez):
    \small y = \frac{r}{r} h = h.
    Celková plocha prierezu valca bez kužeľa je:
    \small \pi r^2 - \pi y^2 = \pi r^2 - \pi h^2.
Porovnanie prierezov:
  1. Vidíme, že pri každej výške h sú prierezy polgule a "valca bez kužeľa" rovnaké.
  2. To znamená, že objemy oboch telies musia byť rovnaké.
Výpočet objemu:
  1. Objem valca je \small V_{\text{valec}} = \pi r^2 \cdot r = \pi r^3 .
  2. Objem kužeľa je \small V_{\text{kužeľ}} = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot r = \frac{1}{3} \pi r^3 .
  3. Objem "valca bez kužeľa" je teda: \small V = \pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3.
  4. Keďže sme uvažovali iba polguľu, celkový objem gule je: \small V_{\text{guľa}} = 2 \times \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi r^3.
Záver.
Tento dôkaz ukazuje, že objem gule je \frac{4}{3} \pi r^3, pričom využíva vizuálnu a konštrukčnú metódu porovnávania prierezov. Obrázok pomáha intuitívne pochopiť, ako sa objem gule rovná objemu valca bez kužeľa.
Povcrh gule.
Otvorte si dynamický obrázok Tu.
\( .\)