Planimetria a stereometria

Definícia.
Dva trojuholníky $\small △ABC, △A_1B_1C_1$ sú podobné, ak majú rovnaký pomer dĺžok odpovedajúcich si strán a odpovedajúce si uhly sú zhodné.

Trojuholník $\small △ABC$ je podobný trojuholníku $\small △A_1B_1C_1$, práve vtedy keď existuje kladné číslo $k$ také, že pre ich strany platí:

• $\small \left| \begin{matrix} AB \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} A_1B_1 \end{matrix} \right|$,
• $\small \left| \begin{matrix} AC \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} A_1C_1 \end{matrix} \right|$, 
• $\small \left| \begin{matrix} BC \end{matrix} \right| = k \cdot \left| \begin{matrix} B_1C_1 \end{matrix} \right|$ 

a pre ich uhly platí:

• $\alpha \simeq \alpha_1$,
• $\beta \simeq \beta_1$, 
• $\gamma \simeq \gamma_1$. 

Definícia.
Pomer $k$ nazývame koeficient podobnosti trojuholníkov. Pre rôzne hodnoty koeficientu dostávame:

• $k > 1$ - zväčšenie,
• $k < 1$ - zmenšenie,
• $k = 1$ - trojuholníky sú zhodné.

Tu

Veta Euklides Základy, Kniha VI, Tvrdenie 2.
Ak je priamka nakreslená rovnobežne s jednou zo strán trojuholníka, potom proporcionálne pretína strany trojuholníka.
A ak sú strany trojuholníka rezané proporcionálne, potom čiara spájajúca body rezu je rovnobežná so zostávajúcou stranou trojuholníka. (Tvrdenie Tu.)

Veta Euklides Základy, Kniha VI, Tvrdenie 4. 
V rovnouholníkových trojuholníkoch sú strany okolo rovnakých uhlov proporcionálne, kde zodpovedajúce strany sú opačné ako rovnaké uhly. (Tvrdenie Tu.)

Otvorte konštrukčný dôkaz Tu.

Príklad.
Zostrojte trojuholník $\small ABC$ , ak sú dané jeho výšky $v_a,v_b,v_c$

Rozbor.

1. Hľadajme súvislosti medzi výškami trojuholníka a jeho stranami. Použijeme vzťah pro obsah trojuholníka: $\small S = \frac{1}{2} a . v_a$.
2. Z neho vyplýva, že $\small 2 . S = a .v_a = b . v_b = c . v_c$ a teda $a : b : c = 1/v_a : 1/v_b : 1/v_c$.
3. Označme $a´= 1/v_a,  b´ = 1/v_b ,  c´= 1/v_c$  
   
4. Uvažujme o ľubovoľnom trojuholníku $\small A´B´C´$ so stranami $a´,b´,c´$.
5. Takýto trojuholník je podobný trojuholníku $\small ABC$, lebo pomer odpovedajúcich strán je konštantný.

Uvažujme teraz o ľubovoľnom trojuholníku $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$ .

1. V trojuholníku $\small KLM$ označme jeho výšky $a´,b´,c´$. 
2. Zrejme platí: $v_a : v_b : v_c = 1/a´: 1/b´: 1/c´$. Toto tvrdenie vyplýva z analýzy urobenej v druhom bode rozboru tejto úlohy. 
3. Po úprave dostaneme $1/v_a : 1/v_b : 1/v_c = a´: b´: c´ = a : b : c$ .
4. Konštrukciu začneme zostrojením trojuholníka $\small KLM$ so stranami $v_a,v_b,v_c$
• následne zostrojíme trojuholník $\small A´B´C´$ so stranami $a´, b´, c´$
• nakoniec zostrojíme trojuholník $\small ABC$ podobný trojuholníku $\small A´B´C´$.

Diskusia. Úloha má práve jedno riešenie, ak výšky spĺňajú trojuholníkovú nerovnosť.

Dôkaz. Z rozboru a priamo z konštrukcie vyplýva, že pre výšky v zostrojenom trojuholníku platia vstupné hodnoty.