Geometria trojuholníka
Geometria trojuholníka
Ťažisko trojuholníka
Definícia (Ťažnica trojuholníka).
Nech je daný trojuholník
a nech
je stred strany
. Úsečka
sa nazýva ťažnica
trojuholníka
.
Nech je daný trojuholník
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small A_1 \small A_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3d5d23cde216ce386e42885f0b0049d3.png)
![\small BC \small BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44ac9505640810c514c599160208d332.png)
![\small AA_1 \small AA_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4703fb9118972de15bb28f3fd57d54cc.png)
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
V ďalších podkapitolách tejto sekcie dokážeme vlastnosti o ťažniciach trojuholníka.
Poznámky.
- Ťažnice trojuholníka
budeme označovať
.
- Krajný bod ťažnice
označujeme
resp. používa sa označenie:
- stred strany
alebo
- stred strany
.
- Vlastnosť, že ťažisko rozdeľuje každú ťažnicu v pomere
sa na ZŠ robí meraním, na stredných školách sa už dokazuje táto vlastnosť.
- V príprave budúcich učiteľov matematiky sa prezentuje viacero dôkazov. Napríklad ako dôsledok Cevovej vety alebo pomocou osovej afinity transformujeme trojuholník na rovnostranný. Tiež sa využíva aj vhodná rovnoľahlosť
.
Pri hľadaní ťažiska trojuholníka sa sústredíme na skúmanie vlastností priečok rovnobežných s danou stranou trojuholníka.
Experiment.
Vytvorme v GeoGebre model trojuholníka
rozdeleného na veľmi tenké pásiky, ktoré budú rovnobežné so stranou
.
Vytvorme v GeoGebre model trojuholníka
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74e0ca4ecc97549a097fed0a7d6c081e.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9746a9848728d4964db0c9892c6f0357.png)
- Zrejme ťažisko
každého tenkého pásika bude ležať v jeho "strede"
- Pásiky budeme postupne zužovať, až dostaneme rovnobežné úsečky
so stranou
- Pri posúvaní rovnobežnej úsečky
pomocou bodu
sa bude zaznamenávať stopa jej stredu
- Stopa ako množina všetkých stredov
je zrejme úsečka
, kde
je stred strany
-
Ťažnica trojuholníka je množina všetkých stredov
priečok
- Učiteľ nabáda žiakov, aby sformulovali otázky súvisiace s ťažnicami trojuholníka. Uvádzame niekoľko vhodných otázok:
Pokračujeme v ďalšom experimente a hľadajme odpovede na otázky:
Experimenty sú spracované podľa práce: [LUK] Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.(Dostupné Tu).
Experimenty sú spracované podľa práce: [LUK] Lukáč, S.: Bádateľský prístup k výučbe trojuholníkov.(Dostupné Tu).
Veta.
Ťažnice trojuholíka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.
Ťažnice trojuholíka sa pretínajú v jedinom bode T, ktoré nazývame ťažisko.
Konštrukčný dôkaz.
- Vyberieme (zvolíme si) dve ťažnice
- Zostrojíme rovnobežky s týmito ťažnicami v bodoch
. Ich jednoznačnú existenciu zaručuje V. Euklidov postulát.
- Zostrojíme priesečník
týchto rovnobežiek. Vznikne rovnobežník, v ktorom uhlopriečky
sa rozpoľujú.
- V trojuholníku
je
stredná, odkiaľ dostávame
je stred
.
- Podobne pre trojuholník
je
stredná priečka trojuholníka.
- Z bodov 4 a 5 vyplýva, že priesečník
je stred strany. Teda
, čo bolo treba dokázať.
Urobte dôkaz pomocou Cevovej vety aj pomocou afinity. Pozrite si dôkaz od Martina Vinklera Tu.
Rozbor úlohy.
- V trojuholníku
poznáme dĺžky všetkých strán
- Môžeme zostrojiť trojuholník
pomocou vety
- Predĺžením strany
zostrojíme bod
- urobte konštrukciu trojuholníka
podľa vyššie uvedeného rozboru (náš návrh Tu),
- urobte diskusiu o počte riešení.