Geometria trojuholníka
Geometria trojuholníka
Vybrané vety o trojuholníkoch
Definícia (Deliaci pomer).
Nech
sú tri kolineárne body také, že
.
Deliaci pomer bodu
vzhľadom k bodom
rozumieme reálne
číslo
(označenie
), pre ktoré platí
.
Pre bod
je
a pre bod
je
. Pre
je zrejme
.
Nech
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aae8cff59f80e449ee04f33e2ac58b03.png)
![\small A \neq B, C \neq B \small A \neq B, C \neq B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b665c95158181fb8141d24f6576f89ae.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d338951ac52d50dbc2703c8dffbca1.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986fde400fe83e8028abd40e8e24d9c6.png)
![\lambda \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/32d9095668d45c06095c6b0a449c6d5d.png)
![\small (ABC) \small (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c406e0ac29eaa18e6cbbc8d8271dfd7.png)
![\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|} \small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e93a9aa37eb4df0e63a8ab5e20b8e3a1.png)
Pre bod
![\small C \notin AB \small C \notin AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/06158cca917ed2cc6fd46bdfd2eddf07.png)
![\small (ABC) > 0 \small (ABC) > 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab53bccd161ce35756222c3e2d85df29.png)
![\small C \in AB \small C \in AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4051d91612aff82900d9b438f500dacf.png)
![\small (ABC) < 0 \small (ABC) < 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bfb008f9ac5240977692519cf81e70d.png)
![\small C =A \small C =A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc9d74b28c0ec401945505cfc5a79ef4.png)
![\small (ABC) = 0 \small (ABC) = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/496e419ba4f092464d5934ee81f82f0c.png)
Poznámky.
- V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo
, pre ktoré platí:
.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra. - Deliaci pomer stredu úsečky je rovný -1. Dokážte to.
- Pre tri rôzne kolineárne body platí:
.
Dokážte to. - V rovine sú dané dva pevne body
. Množina všetkých bodov
tejto roviny, pre ktoré platí
,
kdeje reálna konštanta, je kružnica. Dokážte to a vytvorte konštrukciu v GeoGebre.
Cevova veta.
V trojuholníku
sa priamky
, kde
je vnútorným bodom trojuholníka
a
sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
V trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![\small {AK},{BK},{CK} \small {AK},{BK},{CK}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6764bbe915a3fe057adde42ac060b3a6.png)
![\small K \small K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/71b87ac33e1f5180aca6d4fc556ef5fc.png)
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![\small D,E,F \small D,E,F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4ce2b52f68077341e7dc718615cd14b.png)
![\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. \small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cfb28c8e1d9d50f0fcfd274078cbc15d.png)
Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod. Uvedieme jej prvú časť dôkazu, ktorý má konštrukčný charakter.
Dôkaz.
1. (
): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak
.
2. (
): Ak
, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].
Dôkaz.
1. (
![\Rightarrow \Rightarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28388689c0d3e31c2525f8cd70ec7de8.png)
![\small S=1 \small S=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88e1df0b5366c792b713eca6fff4a90a.png)
2. (
![\Leftarrow \Leftarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31b21a2f5e77a479a6982aee0ca6b711.png)
![\small S=1 \small S=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88e1df0b5366c792b713eca6fff4a90a.png)
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].
Poznámky.
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:
- Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar
.)
- Výšky pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr.
, ak
je výška.)
- Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
- Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.
Morleyho veta.
Ak v trojuholníku
zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka
.
Ak v trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small KLM \small KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cc18c2b60c1ac1111442965d6e1cb45c.png)
Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.
Poznámky.
- V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety
(uhly pri vrchole
... os uhla, pri vrchole
majú veľkosť
, strana
spoločná).
- V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník
je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
- Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.