Planimetria a stereometria

Tvrdenie
Priemetom h-priamky (hyperboly) do Poincarè disku je otvorený kružnicový oblúk, ktorý je kolmý na hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$.

Lema
Nech je daná kruhová inverzia určená kružnicou - hranicou kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$ a nech bod $\small A'$ je obrazom bodu $\small A$ v tejto kruhovej inverzii. Zvoľme si ľubovoľnú ale pevne zvolenú kružnicu $k$ prechádzajúcu dvojicou inverzných bodov $\small A,A'$. Ak kružnica $k$ pozostáva výlučne len z dvojíc inverzných bodov vzhľadom na kružnicu - hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$, tak kružnica $k$ pretína kružnicu  - hranicu kruhu $\omega (O,\;r \leq 1)$  kolmo.

Dôkaz

1. Nech body $\small A,B$ sú priemety bodov h-priamky $\small AB$. Pozrite si priložený obrázok.
2. Podľa predchádzajúcej časti dôkazu (i.) platí
   $| OA| \times | OA'|=| OB| \times | OB'|=1$.
3. Odkiaľ: bod $\small A'$ je obrazom bodu $\small A$ aj v kruhovej inverzii $(O,\;r = 1)$. Podobne to môžeme povedať aj o bodoch $\small B,B'$.
4. Nech $k$ je kružnica určená bodmi $\small A,A',B$, potom v dôsledku mocnosti bodu $\small O$ ku kružnici $k$ bude aj bod $\small B'$ bodom kružnice $k$.
5. Teraz uvažujme o dotykových bodoch $\small P,Q$ na dotyčniciach z bodu $\small O$ ku kružnici $k$.
6. Mocnosť bodov $\small A,B,P,Q$ ku kružnici $k$
   $\small \left| OB \right| \times \left|OB' \right|=\left| OP \right|^2=\left| OQ \right|^2=1$
7. Z toho vyplýva, že body $\small P,Q$ sú samodružné v kruhovej inverzii $(O,\;r = 1)$.
8. Priamky $\small \overleftrightarrow{OP}, \overleftrightarrow{OQ}$ sú dotyčnice ku kružnici $k$. Odkiaľ $\small \overleftrightarrow{SP} ⟂\; \overleftrightarrow{OP}, \; \overleftrightarrow{SP}⟂ \; \overleftrightarrow{OP}$.
9. Kružnica $k$ je kolmá na kružnicu $\omega$.
Tým je dôkaz lemy ukončený.

V dôsledku lemy a predchádzajúcich častí dôkazu môžeme vysloviť tvrdenie.

Priemetom h-priamky $\small AB$ je otvorený oblúk $\small \widehat{PAQ}$ na kružnici $k$.

Poincarè diskový model (tiež sa používa označenie Poincarè Disc) hyperbolickej roviny je prezentovaný v euklidovskej rovine ako otvorený kruh $\omega = \lbrace{(x, y) : x^2 + y^2 \lt 1; x,y \in \mathcal{R} }\rbrace$. Euklidovskú geometriu roviny môžeme považovať za „ontológiu pozadia“.
V predchádzajúcej časti sme uviedli, že tento otvorený kruh je stredovým priemetom dvojdielneho hyperboloidu. Uviedli sme tvrdenie, že v Poincarè diskovom modeli pre hyperbolické body a hyperbolické priamky platí:

• vlastný bod je vnútorný bod kruhu, ktorý je priemetom vlastného h-bodu hyperboloidu;
• koncový bod (resp. nevlastný bod) ležiaci na hranici kruhu, ktorý je priemetom nevlastného bodu 1. druhu;
• priamka je otvorený kružnicový oblúk kruhu - je priemetom h-priamky (hyperboly), pričom tento oblúk leží na kružnici kolmej na hranicu kruhu
Zostrojiť bod v Poincaré modeli znamená zostrojiť bod vo vnútri kruhu ω, čo nie je žiadny problém.
Pri zostrojovaní hyperbolickej priamky určenej dvoma bodmi kruhu s výhodou využijeme vlastnosti kruhovej inverzie a konštrukcie popísané v predchádzajúcom dôkaze.

Poznámky

1. V ďalšej podkapitole navrhneme v prostredí GeoGebra konštrukciu a zároveň aj nástroj na zostrojenie hyperbolickej priamky určenej dvoma rôznymi bodmi v Poincarè modeli disku. V konštrukcii využijeme inverzné body.
2. Pri riešení konštrukčných úloh v Poincarè modeli potrebujeme okrem konštrukcie hyperbolickej priamky potrebovať aj konštrukciu kružnice a ďalších základných euklidovských konštrukcií (kolmica, os úsečky a pod).