Planimetria a stereometria

Slovo geometria pochádza z gréckeho výrazu hé gé meteón, čo znamená vymeriavanie pozemkov pomocou lán. Pozri prácu [SED]. Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l.

Základy geometrie nachádzame už v Babylone, Egypte, Indii a Číne. Veľký rozmach zaznamenala grécka matematika. K zásadnému pokroku v rozvoji geometrie prispeli významní grécki matematici Thales, Pytagoras a Euklides. Euklidove Základy môžeme považovať za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Uvedieme ukážku riešenia úlohy o výpočte obsahu rovnoramenného trojuholníka z obdobia mezopotámskej ríše. Pripomíname, že matematika tohto obdobia používala šesťdesiatkovú číselnú sústavu.

Úloha. (Babylon)
Je daný trojuholník so stranami: (1,40) dĺžka každej z dvoch strán, (2,20) šírka. Aká je plocha?

Obsah trojuholníka v Babylone podľa starobabylonskej tabuľky YBC 8633, na ktorej je klinovým písmom vyrytý postup riešenia úlohy na výpočet obsahu rovnoramenného trojuholníka.

Poznámky
Na výpočet obsahov trojuholníkov používali mezopotámski matematici nasledovné vzorce:

1. $\small S= \frac{1}{2} a.r$ pre rovnoramenný trojuholník (približný výpočet) 
2. $\small S= \frac{1}{2} a.b$ pre pravouhlý trojuholník (presná hodnota), kde $a$ je základňa a $r$ rameno rovnoramenného trojuholníka resp. odvesny $a,b$ pravouhlého trojuholníka.
3. Pozrite si riešenie úlohy (WORD) Tu a súbor GeoGebra Tu.

K rozvoju geometrie prispeli aj egytskí účenci, ktorí boli nútení po každoročných záplavách Nílu nanovo rozmeriavať pozemkové parcely. Zároveň museli ovládať aj postupy pri rozdeľovaní úrody. Z toho vznikla potreba vedieť vypočítať obsahy rôznych geometrických útvarov ako aj postupy riešenia jednoduchých rovníc. Pozrite si ukážky:
Egypt - obdobie elementárnych matematických pojmov.
Rhindov a Moskovský papyrus.
Výpočet obsahov obdĺžnikov, kruhov, trojuholníkov a objemy kvádrov, zrezaných kužeľov a pyramíd. Riešenie rovníc - pozrite si riešenie úlohy R40 z Rhindovho papyrusu.

Úloha
Je treba rozdeliť 100 chlebov medzi 5 mužov tak, aby bola jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole.

Facsimilé Rhindovho matematického papyrusu. Otvorte Tu.

Poznámky k pôvodnému riešeniu, ktorý je uvedený na papyruse. Pozrite tiež prácu [BEC, 2003]

1. Celkový počet chlebov je 100 a je potrebné tieto chleby nejakým spôsobom rozdeliť medzi 5 mužov. V úlohe sa spomínajú traja horní muži a dvaja dolní. Toto naznačuje určité usporiadanie, ale nie je celkom isté, že ide o aritmetickú postupnosť. To vyplýva až z prezentovaného riešenia.
2. Ďalej je tu podmienka, ktorú je možné interpretovať tak, že súčet počtu chlebov troch horných mužov v usporiadaní sa rovná súčtu chlebov dvoch mužov dole v usporiadaní.

Pôvodné riešenie úlohy R40:
Podmienku, že jedna sedmina z troch horných pre dvoch mužov dole, môžeme vyjadriť vzťahom:
$\small 1+ (1+d) = 1/7[(1+2d)+(1+3d)+(1+4d)]$
Z predchádzajúceho vzťahu vypočítame
$\small d=5 \frac{1}{2}$
Ide teda o postupnosť
$\small 2,6 \frac{1}{2},12,17 \frac{1}{2},23$,
ktorej súčet je $\small 60$. Číslo $\small 60$ musíme vynásobiť číslom
$\small 1 \frac{2}{3}$,
aby sme získali požadovaný súčet $\small 100$. Týmto číslom musíme preto vynásobiť aj členy vyššie uvedenej postupnosti. Hľadaná aritmetická postupnosť je teda:
$\small 1 \frac{2}{3}, 10 \frac{2}{3}\frac{1}{6}, 20, 29 \frac{1}{6}, 38\frac{2}{3}$,
ktorej diferencia je $\small 9 \frac{1}{6}$. Tento výsledok však na papyruse nie je uvedený.

V súčasnosti by sa tento príklad mohol počítať takto:
Chybný predpoklad by sme nahradili neznámou $\small a$ a dostali by sme dve rovnice o dvoch neznámych:
$\small a + ( a + d ) + ( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d ) = 100$
$\small a + ( a + d ) = 1/7 [( a + 2d ) + ( a + 3d ) + ( a + 4d )]$.
po ekvivalentných úpravách by sme dospeli k tomu istému výsledku.

Matematika ako veda vznikla v Grécku približne v období 6. - 5. st. pred n. l. Gréci ako prví prestali riešiť iba otázku ako, ale hľadali aj odpovede na otázku prečo. Významní predstavitelia gréckej matematiky: Tháles, Pytagoras, Euklides

V starom Grécku

1. Bol vytvorený systém základných vzťahov (axióm) a požiadaviek (postulátov) - Euklidove Základy. Takýto kompletne spracovaný systém bol publikovaný v Euklidových Základoch. Pozrite si práce [EUC] a [SER]. Toto dielo sa považuje za základy planimetrie, stereometrie a geometrickej algebry. Existuje český preklad od Servíta Tu, Heathov preklad je v online verzi od D.E.Joyce Tu. V roku 2022 vyšiel v nakladateľstve Perfekt slovenský preklad s komentármi od profesora J. Čižmára.
2. Grécki matematici začali matematické tvrdenia dokazovať , pričom používali deduktívnu metódu. Pokúšali sa vyriešiť aj tri preslávené problémy
• trisekcia uhla (rozdelenie uhla na tri rovnaké uhly)
• zdvojenie kocky (nájdenie kocky, ktorej objem sa rovná dvojnásobku kocky pôvodnej)
• kvadratúru kruhu (nájdenie štvorca, ktorý má rovnaký obsah ako daný kruh),
len použitím pravítka a kružidla.