Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Zobrazenia
Rovnoľahlosť
Definícia.
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky
je úsečka
, ktorej veľkosť je
-násobkom veľkosti úsečky
(
).
Podobné zobrazenie (podobnosť) je zobrazenie, v ktorom obrazom každej úsečky
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70dcdb2c7b6f8c1847050898533f39e8.png)
![\small A'B' \small A'B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b94eb9b9137043256fb1e694f5077ab.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c347f70459eca655f417c847e1fb9985.png)
![k > 0 k > 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7aaa3e875f464c66db50d3b43c4bfbb2.png)
V každom podobnom zobrazení platí:
Definícia (Rovnoľahlosť).
Je daný bod
a reálne číslo
. Rovnoľahlosť (homotétia) je zobrazenie
, ktoré priraďuje:
Je daný bod
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
![\kappa, \kappa \neq 0 \kappa, \kappa \neq 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/52d7544b4d59fd93899b90eb32184daa.png)
![\mathscr{H}(S, \kappa) \mathscr{H}(S, \kappa)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b9434f954c4b0dcc3157cdbe86db0300.png)
Poznámka.
Rovnoľahlosť
je podobnosť s koeficientom
. Pre
je identitou, pre
rotáciou okolo
o 180° (aj stredovou súmernosťou so stredom v bode
).
Pre
je jediným samodružným bodom stred
. Samodružnou priamkou je každá priamka, ktorá prechádza stredom rovnoľahlosti. Pozrite si súbor appletov od
Martina Vinklera Tu.
Rovnoľahlosť
![\small \mathscr{H}(S, \kappa) \small \mathscr{H}(S, \kappa)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a1ff363e01c3a223cf940c7a78d73f52.png)
![|\kappa| |\kappa|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0513ae42b305c0272b963cf812939fcb.png)
![\kappa=1 \kappa=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e09430ed3a7b79fd884e81fa138f8ff2.png)
![\kappa=-1 \kappa=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12775bead82094b8b9b1ba4f70bf359e.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
Pre
![\kappa≠ 1 \kappa≠ 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8da438270592b32ff210fb275fa2378c.png)
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea8bf0d4330da4baf3915bc2c307eac6.png)
Rovnoľahlosť je špeciálne podobné zobrazenie. To znamená, že má všetky vlastnosti podobného zobrazenia.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.
Naviac má vlastnosť, že v rovnoľahlosti odpovedajúce priamky (vzor a obraz) sú rovnobežné.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438958/mod_book/chapter/11540/Rovnolahlost1.png)
Vľavo. V rovnoľahlosti platí:
![\small AB\; || \;A'B' \small AB\; || \;A'B'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/399c4e903f126503441dfb125038bdc8.png)
Otvorte si applet Tu.
Veta 1.
V rovnoľahlosti
:
V rovnoľahlosti
![\small \mathscr{H}(S, \kappa) \small \mathscr{H}(S, \kappa)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d496298bc0515e904733c4633c823a1b.png)
![\small X \rightarrow X' \small X \rightarrow X'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7046a21d2ec799cbe121988f3508420e.png)
- každé dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
- každé dve rovnobežné a nezhodné úsečky sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi,
- každé dve nezhodné kružnice
sú rovnoľahlé, pričom stredy rovnoľahlosti ležia na strednej kružníc,
- spoločné dotyčnice dvoch kružníc prechádzajú odpovedajúcimi stredmi rovnoľahlostí (vnútorným
a vonkajším
stredom rovnoľahlosti).
Veta 2.
Nech sú dve kružnice
rovnoľahlé, ich vonkajší stred rovnoľahlosti je bod
, vnútorný stred rovnoľahlosti
. Potom platí
,
.
Nech sú dve kružnice
![\small k_1= (O_1,r_1),k_2=(O_2,r_2) \small k_1= (O_1,r_1),k_2=(O_2,r_2)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cf4c9ea575faace56428f1c74388c149.png)
![\small S_1 \small S_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/597b65444442a42cfb28613f26d4a6fa.png)
![\small S_2 \small S_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/22c066168569a4ce198e792997278de3.png)
![\small \mathscr{H_1}(S_1, \kappa= \frac{r_2}{r_1} ):k_2 \rightarrow k_1 \small \mathscr{H_1}(S_1, \kappa= \frac{r_2}{r_1} ):k_2 \rightarrow k_1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/84d44ffb04df5310d75c25f91ef2cd0d.png)
![\small \mathscr{H_2}(S_2, \kappa= -\frac{r_2}{r_1} ):k_1 \rightarrow k_2 \small \mathscr{H_2}(S_2, \kappa= -\frac{r_2}{r_1} ):k_1 \rightarrow k_2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f86bff4537ea14bd067dff4531f215d.png)
Veta 3.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.
Zložením rovnoľahlosti a zhodného zobrazenia dostaneme podobné zobrazenie.
Každé podobné zobrazenie možno získať zložením vhodného zhodného zobrazenia a rovnoľahlosti >.
Cvičenie 1.
Do daného trojuholníka
vpíšte štvorec
tak , aby strana
ležala na strane
,
bod
ležal na strane
a bod
na strane
.
Riešenie v práci [RUM], str. 98.
Do daného trojuholníka
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb30b9d797eef60829faab09589e3a61.png)
![\small KLMN \small KLMN](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ae1157c0ae232bdc0886920d49c9d6c.png)
![\small KL \small KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8321ac27067aae0367a068460fb9c25d.png)
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c347f70459eca655f417c847e1fb9985.png)
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small BC \small BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/44ac9505640810c514c599160208d332.png)
![\small N \small N](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b423557dcd22546bf5595bcb22c848b.png)
![\small AC \small AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/111705a5a13cde60aa6db2262ff3c1f6.png)
Riešenie v práci [RUM], str. 98.