Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Kružnica, kruh
Veta o obvodových uholch
Veta (O obvodových uhloch).
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.
Ľubovoľné dva obvodové uhly prislúchajúce k tomu istému oblúku kružnice majú rovnakú veľkosť.
Obvodový uhol je polovicou stredového uhla prislúchajúceho k tomu istému oblúku.
-
Priložený applet je motivačný a môžete ho využiť pri skúmaní závislosti veľkosti obvodových uhlov
od polohy bodu
.
-
Veľkosť obvodového uhla nezávisí od polohy bodu
, rozhodujúce sú body
resp. uhol
.
- Konštrukcia oblúka, z ktorého vidieť úsečku pod daným uhlom. Otvorte si konštrukciu Tu.
- Ak body
sú krajné body priemeru, tak rozdelia kružnicu na dve polkružnice: stredový uhol je priamy a obvodový uhol pravý.
Dôkaz (vety o obvodových uhloch).
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.
Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:
V dôkaze vety o obvodových uhloch sa využívajú dve základné vlastnosti trojuholníka.
- "Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu vnútorných uhlov pri zvyšných vrcholoch."
- "V rovnoramennom trojuholníku sa uhly pri základni navzájom rovnajú" (Kniha 1, Tvrdenie V).
Spojením týchto dvoch tvrdení dostaneme:
Dôsledok.
Prípad 1 (Veta o obvodových uhloch).
Nech
je vnútorný bod uhla
. Potom obvodový uhol
je polovicou stredového
uhla
.
Nech
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small ∡ACB \small ∡ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5e7f8c964ae580b62e50f0a8af6c5b0.png)
![\small ACB \small ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43dea23a8b93336c5ed5325e5c29f23f.png)
![\small ASB \small ASB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/137fb77e4dfcbb6b1014067bc66b6c03.png)
Prípad 2 (Veta o obvodových uhloch).
Nech
leží na ramene uhla
Potom obvodový uhol
je tiež polovicou stredového uhla
.
Nech
![\small S \small S](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/33e0051a4cc1577ae2d1d24f48f964b9.png)
![\small ∡ACB \small ∡ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5e7f8c964ae580b62e50f0a8af6c5b0.png)
![\small ACB \small ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43dea23a8b93336c5ed5325e5c29f23f.png)
![\small ASB \small ASB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/137fb77e4dfcbb6b1014067bc66b6c03.png)
Posuňte bod C proti smeru hodinových ručičiek do krajnej polohy vľavo tak, aby body
ležali na jednej priamke (boli kolineárne). Potom dôkaz pre prípad 2 bude analogický ako v prípade 1. Situácia sa transformuje len na jeden trojuholník.
![\small B, S, C \small B, S, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0444829f55cc013ebb05afbfd75300b3.png)
Prípad 3 (Veta o obvodových uhloch).
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol
je polovicou stredového uhla
.
Nech S je vonkajší bod uhla ∡ACB. Potom obvodový uhol
![\small ACB \small ACB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43dea23a8b93336c5ed5325e5c29f23f.png)
![\small ASB \small ASB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/137fb77e4dfcbb6b1014067bc66b6c03.png)
Zrejme platí
. Pozrime sa na rozdiel uhlov pri vrchole
.
Zistíme, že
. Keďže trojuholníky
,
sú rovnoramenné, tak platí
Pozrite si konštrukčný dôkaz od Martina Vinklera, ktorý je dostupný Tu. Pre bod
môžu nastať len tieto tri prípady, preto je dôkaz vety o obvodových uhloch ukončený.
![\omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta \omega=\small \angle ASB=2. \angle ASC_1-2.\angle BSC_1=2\alpha - 2\beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6673a1f47aa658183becdba8f236655.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
![\small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS \small \angle ACB= \angle ACS-\angle BCS](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5847f7b39e2980265322433aeca1cf88.png)
![\small ASC \small ASC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ebbe632d4a0fc488a6a9884c92eb424f.png)
![\small BSC \small BSC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f50934da1c93959dbd7f7facca5574f.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
Príklad.
Je daná kružnica
a na nej dva body
. Pre každý priemer
kružnice
zostrojíme (ak existuje) priesečník priamok
.
Určte množinu všetkých takých priesečníkov. Budeme predpokladať, že
nie je priemer kružnice. (Larson 8.1.2.)
Je daná kružnica
![\small k (S, r)) \small k (S, r))](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4e99c136e5092fa9bf88ebc6aaeceda2.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5abb7419695794b6d9c1f0b33d0df8d5.png)
![\small XY \small XY](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6717a53523b595d4a5ec9bb3d63825d0.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![\small AX, BY \small AX, BY](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e3e47bf761996673626db05debce006f.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4124171f6b852a5059881f411546716f.png)
V planimetrii sa pomerne často vyskytujú úlohy, v ktorých sa hľadá množina
bodov s danou vlastnosťou
.
Symolicky to môžeme zapísať takto
. Takéto množiny sa tiež označujú ako "Geometrické miesta bodov (GMB)". Riešenie takýchto úloh sa
skladá z troch častí:
je kružnicový oblúk
. Na overenie platnosti výroku "
má vlastnosť
" teraz stačí ukázať, že výroková formula
je tautológia. To je však zrejmé. Keďže aj opačný postup
je tautológia, tak aj časť C je pravdivý výrok.
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355f017391e3e7d5b7e86e7865782136.png)
![\small M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace \small M= \lbrace{X \in E^2; \text{ph}V(X)=1}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49d2a2877579e36bf82e088c89c35eee.png)
- Najskôr musíme určiť základné charakteristické prvky danej množiny (najčastejšie experimentálne) resp. komplexne popísať danú množinu
. Potom overiť platnosť výrokov:
má vlastnosť
,
- ak
má vlastnosť
, tak patrí do množiny
.
- Thalesova veta hovorí, že trojuholníky
sú pravouhlé s pravým uhlom pri vrcholoch
.
- Obvodové uhly
a
majú rovnakú veľkosť
.
- Označme si
a
.
- Súčet uhlov v trojuholníku je 180°, preto
bude
.
- Odtiaľ dostávame, že súčet uhlov
je konštantný pre ľubovoľný priemer
a dva pevné body
.
- Preto aj vrcholové uhly
majú konštantnú veľkosť. To znamená, že body
ležia na kružnicovom oblúku
.
- K nájdeniu oblúka stačí zvoliť jeden priemer
a jeden odpovedajúci priesečník
.
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a9e637e1c6572a0043896114844bb06.png)
![\small (APB) \small (APB)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6cdef5ec30549fddf5efd3a3b49ddaf5.png)
![\small X \in M \Rightarrow X \small X \in M \Rightarrow X](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d2ae91cea1b5391cba9b9592734bc904.png)
![\small V \small V](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/355f017391e3e7d5b7e86e7865782136.png)
![[(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.) [(1. \wedge 2.) \Rightarrow 4] \Rightarrow (5. \wedge 6.)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1d2466a43806dc0ae93b0078ee6c0d9a.png)
![[(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1. [(5. \wedge 6.) \Rightarrow 4.] \Rightarrow 1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af5824de788b473b6bd4ab77ebe529d5.png)
Poznámky.
- Pri určovaní GMB je mnohokrát najťažší krok A.
- Program GeoGebra tento krok zjednoduší tým, že pomocou nástroja "Množina bodov" (nachádza sa v sekcii nástrojov "Kolmica") vykreslí hľadanú
množinu
.
- Potom je však nutné realizovať kroky B a C.
- Pozrite si aplikovanie tohto nástroja v kurze Didaktika matematiky v knihe Množiny bodov. Dostupné Tu.