Planimetria a stereometria

Definícia (Deliaci pomer).
Nech $\small A,B,C$ sú tri kolineárne body také, že $\small A \neq B, C \neq B$. Deliaci pomer bodu $\small C$ vzhľadom k bodom $\small A,B$ rozumieme reálne číslo $\lambda$ (označenie $\small (ABC)$), pre ktoré platí
$\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}$.
Pre bod $\small C \notin AB$ je $\small (ABC) > 0$ a pre bod $\small C \in AB$ je $\small (ABC) < 0$. Pre $\small C =A$   je zrejme $\small (ABC) = 0$.

Poznámky.

1. V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo $\lambda$, pre ktoré platí:
   $\small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}$.
   Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
2. Deliaci pomer stredu úsečky je rovný -1. Dokážte to.
3. Pre tri rôzne kolineárne body platí:
   $\small (BAC) = \frac{1}{(ABC)} ; \;  \;  \;  (ACB) = 1-(ABC); \;  \;  \;  (CAB) = \frac{1}{1−(ABC)}$ .
   Dokážte to.
4. V rovine sú dané dva pevne body $\small A,B$. Množina všetkých bodov $\small X$ tejto roviny, pre ktoré platí
   $\small \frac{|AX|}{|BX|} = k$,
   kde $k$ je reálna konštanta, je kružnica. Dokážte to a vytvorte konštrukciu v GeoGebre.

Cevova veta.
V trojuholníku $\small ABC$ sa priamky $\small{AK},{BK},{CK}$, kde $\small K$ je vnútorným bodom trojuholníka $\small ABC$ a $\small D,E,F$ sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
$\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.$

Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod. Uvedieme jej prvú časť dôkazu, ktorý má konštrukčný charakter.
Dôkaz.
1. ($\Rightarrow$): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak $\small S=1$.
2. ($\Leftarrow$): Ak $\small S=1$, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci [Val, 2005].

Poznámky.
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku sa:

1. Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar $\frac{m}{m} =1$.)
2. Výšky pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr. $\small \frac{|AF|}{|FB|}= \frac{b \cdot cos \; \alpha }{a \cdot cos \; \beta }$, ak $\small CF$ je výška.)
3. Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
4. Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.

Morleyho veta.
Ak v trojuholníku $\small ABC$ zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka $\small KLM$.

Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.

Poznámky.

1. V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety $\small USU$ (uhly pri vrchole $\small U$ ... os uhla, pri vrchole $\small Z$ majú veľkosť $30^ \circ$, strana $\small UZ$ spoločná).
2. V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník $\small UXY$ je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
   • zo zhodnosti trojuholníkov $\small UXZ,UYZ$ vyplýva, že uhly pri vrcholoch $\small X,Y$ sú zhodné,
   • preto sú zhodné aj uhly $\small \angle XYU, \angle YXU: \angle UXY = \angle UXZ-60^ \circ$,
   • zároveň vieme, že platí $\small \angle XUY = \angle BUA = 180^ \circ - 2\alpha - 2\beta$.
   • trojuholníky $\small UXY,UYX$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
   • Odkiaľ pre ich veľkosti dostávame $\small \angle UXY = 180^ \circ -(180^ \circ - \alpha- \beta)= \alpha+ \beta$ sú zhodné a teda aj rovnoramenné.
3. Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
• Ukážte, že strana Morleyovho trojuholníka je $\small  d = 8 \cdot R \cdot$sin$( \alpha )$ sin $\beta )$sin$( \gamma )$, kde $\small R$ je polomer kružnice opísanej $\small \triangle ABC$.