Interaktívna geometria - planimetria (pracovná verzia)
Spojitosť
Tvrdenie T/1 (Euklidove Základy Kniha 1, Tvrdenie I).
K danej úsečke
zostrojte rovnostranný trojuholník tak, aby táto úsečka bola jednou z jeho strán.
Dôkaz.
Dôkaz má konštrukčný charakter. Euklides popisuje konštrukciu rovnostranného trojuholníka
pomocou kružníc
, ktoré sa pretínajú v dvoch rôznych bodoch.
K danej úsečke
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/318522954fc860fb30f295ce3674ccdd.png)
Dôkaz.
Dôkaz má konštrukčný charakter. Euklides popisuje konštrukciu rovnostranného trojuholníka
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1185d08b7f77596d06c72d73d59c3d36.png)
![\small k_1=(A,d), k_2=(B,d) \small k_1=(A,d), k_2=(B,d)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5a96130d910337ef8fdbc1bd52e12bb7.png)
Poznámky.
- V Euklidových Základoch sa nenachádza axióma alebo tvrdenie, podľa ktorého je zaručená existencia spoločného bodu dvoch kružníc!
- V e-knihe DGS sme už uviedli, že v afinnom priestore nad poľom racionálnych čísel sa kruhy nepretínajú.
- Euklides síce nehovorí o spoločnom bode dvoch kružníc, uvádza len tvrdenie/formuláciu "... v ktorom sa kruhy navzájom pretínajú, ..."
- Vyriešiť tento problém je možné sformulovaním axióm spojitosti.
Axiómy spojitosti.
S1: (Archimedova axióma) Nech sú dané úsečky
. Na polpriamke
zostrojme postupne body
také, že
.
Potom existuje jediné prirodzené číslo
také, že bod
a
.
S2: (Axióma úplnosti) K bodom a priamkam v rovine už nie je možné pridať ďalšie tak, aby výsledná geometria stále spĺňala všetky doteraz uvedené axiómy
S1: (Archimedova axióma) Nech sú dané úsečky
![\small AB,CD \small AB,CD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ffd9e9799440d7600c5bf19fd4c8482.png)
![\small \overrightarrow{AB} \small \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5fab04459f46b718f71211fa0f7038e7.png)
![\small P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot \small P_1, P_2, \cdot \cdot \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/85a3bc984fcccf21ac074ef3cf034a85.png)
![\small AP_1 \cong P_1P_2 \cong \cdot \cdot \cdot \cong P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \cong CD \small AP_1 \cong P_1P_2 \cong \cdot \cdot \cdot \cong P_iP_{i+1} \cdot \cdot \cdot \cong CD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab4a31b067a241ab0153b0f779715393.png)
Potom existuje jediné prirodzené číslo
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![\small P_n \in AB \small P_n \in AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/208dde719d253bb60b02e6e8ceb76165.png)
![\small P_{n+1} \notin AB \small P_{n+1} \notin AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d088a666636a728bd9f25f7dea7f6e5.png)
S2: (Axióma úplnosti) K bodom a priamkam v rovine už nie je možné pridať ďalšie tak, aby výsledná geometria stále spĺňala všetky doteraz uvedené axiómy
Poznámky.
- Euklidovská rovina je model všetkých uvedených axióm.
- Euklidovská rovina je afinná rovina
so skalárnym súčinom definovaným na jej vektorovej zložke. Používame aj označenie
.
- Geometria, ktorá spĺňa všetky Hilbertove axiómy (dôležitá je pritom Archimedova axióma), môžeme v nej zaviesť meranie! Pozrite si e-knihu "Miera úsečky".