Planimetria a stereometria

Medzi základné metrické pojmy zaraďujeme

1. uhol - dvoch priamok, priamky a roviny a dvojice rovín.
2. kolmosť - dvoch priamok, kolmosť priamky a roviny a kolmosť dvojice rovín, kritériá kolmosti
3. vzdialenosť- dvoch geometrických útvarov.

V časti Planimetria - Euklidove Základy sme ukázali, že v euklidovskej rovine (dokonca aj v neeuklidovskej - Poincare model) možno zostrojiť kolmú priamku¹⁾ na ľubovoľnú inú priamku roviny. V stereometrii musíme najskôr definovať uhol dvoch mimobežných priamok. 

Definícia
Uhol mimobežných priamok $a, b$ je uhol zhodný s uhlom ľubovoľných dvoch rôznobežiek $a', b'$, pričom $a \parallel a', b \parallel b'$.
Otvorte si zadanie Tu                      ...
V applete posúvaním bodov $\small R,S$ vytvorte takú polohu mimobežiek, aby boli na seba kolmé.

Aby bola definícia korektná, dokážeme najprv nezávislosť takto definovaného uhla od výberu dvojice rôznobežiek $a', b'$.

Tvrdenie
Nech $a, b$ sú dve ľubovoľné mimobežky a nech $\small M',M''$ sú dva body $\small E_3$. Zostrojme priamky $a', b'$ a $a'', b''$ tak, aby $\small M'$ $\in a' \cap b'$ a $\small M''$ $\in a'' \cap b''$ a zároveň $a' \parallel a'', b' \parallel b''$. Potom platí: $\angle a'b'=\angle a''b''$.

Dôkaz
Zvoľme si dva rôzne body $\small A',B'$ incidentné s rovnomennými priamkami tak, aby $\small A' \neq M \neq B'$. Pozri obrázok nižšie. Ďalej zostrojme body $\small A'',B''$ tak, aby útvary $\small A'M'M''A'', B'M'M''B''$ boli rovnobežníky. Je zrejmé, že aj útvar $\small A'B'B''A''$ je rovnobežníkom a trojuholníky $\small A'M'B', A''M''B''$ sú zhodné (veta sss). Preto sa zhodujú vo všetkých uhloch.

$\small \blacksquare$

Definícia

1. Uhlom priamok $a,b$ nazývame uhol ľubovoľných dvoch nedisjunktných priamok $a',b'$, pre ktoré platí: $a \parallel a', b \parallel b'$ . Uhol dvoch rovnobežiek nazývame nulovým uhlom.
     Otvorte si applet Tu
2. Kolmé priamky nazývame také priamky, ktorých uhol je pravý.
3. Priamka kolmá na rovinu [hovoríme aj kolmica na rovinu] je priamka kolmá na všetky priamky roviny.

Dôsledok

1. Priamka kolmá na rovinu je s touto rovinou rôznobežná.
2. Priamka kolmá na dve rôznobežky danej roviny je s touto rovinou rôznobežná.

________________________________________________________________
1) Euklidove Základy, Kniha 1,Tvrdenie XI a XII.