Euklidovský priestor
Rovnobežnosť útvarov
Definície - rovnobežnosť
- Priamky
sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak
alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
- Priamka
je rovnobežná s rovinou
práve vtedy, ak priamka
leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
- Dve roviny
sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
Poznámky
- Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
- Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
- Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.
Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka
je rovnobežná s rovinou
práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou
roviny
(
). Symbolicky
.
Priamka
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![a' a'](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ef8258596705bf9b411274f2b6cb6c8.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![a' \subset \alpha a' \subset \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28e2f985fb5608029d6bff616b709658.png)
![a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a a \parallel \alpha\; \Leftrightarrow\; \exists a' \subset \alpha:\; a' \parallel a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ed64ca375038e115b411c4aa8f62a1f9.png)
Dôkaz
- pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky
a roviny
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
- Nutná podmienka (dôkaz implikácie):
. V zmysle definície rovnobežnosti priamky a roviny, môžu nastať dva prípady:
.
:
Nechje bod ľubovoľný bod. Keďže
, tak existuje práve jedna rovina
a priesečnica
,
pričom bude. V opačnom prípade by existoval bod
, ktorý by bol spoločným bodom priamky
a roviny
.
To je spor s predpokladom. Záver:
.
Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka -
. Môžu nastať dva prípady pre vzájomnú polohu priamok
:
Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.
Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny
sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky
, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou
. Symbolicky
.
Dve roviny
![\alpha, \beta \alpha, \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/129040bc966cff8a092e84ff7b47a9e3.png)
![a,b \in \alpha a,b \in \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1f8e2cc47bff7f58342470163bb76a36.png)
![a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta a \parallel \beta \wedge b \parallel \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3fbf72b455602b24480893ce515d8820.png)
![(\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b') (\alpha \parallel \beta) \; \Leftrightarrow\; (\exists a,b \subset \alpha \; \wedge \; \exists a',b' \subset \beta: \; a\parallel a' \; \wedge \; b \parallel b')](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff1669fa5147547c4c90a3959151707f.png)
Dôkaz
- Nutná podmienka -
. Môžu nastať dva prípady:
.
: Potom existujú rôznobežky
, pre ktoré platí
. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj
, čo je spor s predpokladom.
. Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka -
. Teoreticky môžu nastať tri prípady:
- ak
, tak z definície
;
- ak
, tak z definície
;
- prípad
nemôže nastať. Ak by nastal bol by v spore s existenciou dvojíc priamok:
. Dokážeme to nepriamo:
Nech existujú rôznobežky
s požadovanou vlastnosťoua nech roviny
majú spoločnú priamku
:
.
Táto priamkapretína aspoň jednu rôznobežku
(môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka
. Označme
. To ale znamená, že bod
by ležal v rovine
a zároveň v rovine
, lebo
. To je spor s predpokladom
, keďže
.
- ak
... ...