Polohové stereometrické úlohy - rezy
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | Polohové stereometrické úlohy - rezy |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | piatok, 3 mája 2024, 12:36 |
Opis
PSU
Polohové konštrukčné úlohy
- rez telesa rovinou
- prienik priamky s rovinou
- prienik priamky s telesom
- zostrojiť priečku, resp. os, dvoch mimobežiek
Rezom telesa
(kocky, hranola, kvádra, ihlanu, …) rovinou
rozumieme prienik roviny a telesa .
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny so stenami telesa .
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny so stenami telesa .
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.
Rezy telesa rovinou
Metóda spájania bodov ležiacich v stene daného telesa
Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.
Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach.
Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.
Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.
Nech dva body
ležia v stene
daného telesa.
Priamka určená bodmi pretína priamky určené stranami štvoruholníka , ktoré sú s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka na obrázku pretína priamky určené stranami v bodoch .
Metóda rovnobežnosti
Priamka určená bodmi pretína priamky určené stranami štvoruholníka , ktoré sú s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka na obrázku pretína priamky určené stranami v bodoch .
Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach.
Nech dva body rezu
ležia stene
telesa a bod rezu
leží v rovnobežnej stene
.
Priamka rezu prechádzajúca bodom pretína priamky steny v bodoch .
Metóda osovej afinity
Priamka rezu prechádzajúca bodom pretína priamky steny v bodoch .
Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.
Metóda spájania a rovnobežnosti
Komentár k riešeniu
Body
ležia v stene
a priamka
, ktorá je nimi určená, tiež leží v tejto stene.
Bod
leží v stene
, ktorá je rovnobežná s
. Priamka rezu prechádzajúca bodom
musí byť rovnobežná s
Priesečníky
s priamkami
sú bodmi rezu. Priamka
je priamkou rezu, jej priesečník
s
je bodom rezu.
Priamka
je rovnobežka s priamkou
. Bod rezu
je možné zostrojiť aj pomocou bodu
.
Učiteľ môže kontrolovať presnosť žiackych riešení:
Body
musia ležať na jednej priamke aj pri zmene polohy bodov
.
Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany rovnobežné
Napr.
bude platiť aj pri zmene polohy bodov
. Pohybujte s nimi.
Program GeoGebra umožňuje zostrojiť rez telesa rovinou priamo pomocou nástroja Prienik dvoch plôch
Metóda osovej afinity
Komentár k riešeniu
Body
ležia v podstave
, preto priamku
môžeme považovať za os afinity.
Bod
leží na hrane
, preto bod
môžeme považovať za jeho obraz v osovej afinite medzi rovinou rezu a podstavou ABCD.
Priesečník
s priamkou
je bodom rezu. Priamka
je priamkou rezu, jej priesečník
s
je bodom rezu.
Podobne pomocou osovej afinity zostrojíme bod rezu
. Bod
leží na rovnobežke s
.
Učiteľ môže kontrolovať presnosť žiackych riešení:
Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany navzájom rovnobežné. Zmenou polohy bodu K môžu vzniknúť trojuholník až šesťuholník.
V tomto applete je možné nastaviť polohu bodov
tak, aby rezom bol trojuholník, rovnobežník, lichobežník aj päťuholník.
Metóda stredovej kolineácie
Komentár k riešeniu
Body
ležia v podstave
, preto priamku
môžeme považovať za os stredovej kolineácie.
Bod
leží na hrane
, bod
sa zobrazí v stredovej kolineácii do bodu
.
Bod
je priesečník
s osou kolineácie a je samodružný bod. Bod
je bodom rezu, ktorý sa zobrazí do bodu
.
Priama
má samodružný bod
. Bod rezu
, ktorý sa zobrazí do bodu
. Podobne využijeme bod
.
Učiteľ môže kontrolovať presnosť žiackych riešení:
Odpovedajúce priamky sa musia pretínať v samodružnom bode na osi kolineácie.
Rezom je mnohouholník. Vo väčšine prípadoch protiľahlé strany nie sú rovnobežné. Pohybujte s bodmi
.
Rez telesa - demo
Prezentácia: rez hranola - zadanie; postup konštrukcier
Cvičenie
- Zostrojte rez kocky rovinou , ak:
- , použite len metódu spájania. Zadanie → .
- , použite len metódu rovnobežnosti. Zadanie → .
- , použite kombinovanú metódu spájania a rovnobežnosti. Zadanie → .
- , použite osovú afinitu. Zadanie → .
- Body ležia na mimobežkách. Zadanie → .
- Písomka. Zostrojte rez kocky rovinou
. Zadanie →
- * Mnohosten má steny . Trojuholník je rovnostranný a jeho strany majú dĺžku . Päty kolmíc, ktoré prechádzajú vrcholmi na rovinu sú stredmi úsečiek . Priamka je rovnobežná s rovinou a leží vo vzdialenosti . Zadanie
- Narysujte tento mnohosten v GeoGebre a vytvorte jeho sieť.
- Zostrojte kolmicu vedenú bodom na stenu
- Zostrojte skutočnú veľkosť úsečky , kde je päta kolmice .
- Vypočítajte povrch a objem mnohostena ABCDE.
- Je daný rovnobežnosten s podstavou pravidelného šesťuholníka. Zostrojte rez rovinou , kde , , . →
- Zostrojte rez štvorstena
rovinou
, kde
leží v rovine trojuholníka
,
leží na
a
leží na výške ihlana.
→ .
Zdroje 1.a až 1.e: Polák, J.: Didaktika matematiky. Str. 326. r