Polohové stereometrické úlohy - rezy
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | Polohové stereometrické úlohy - rezy |
Vytlačil(a): | Visiteur anonyme |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 12:33 |
Opis
PSU
Polohové konštrukčné úlohy
- rez telesa rovinou
- prienik priamky s rovinou
- prienik priamky s telesom
- zostrojiť priečku, resp. os, dvoch mimobežiek
Rezom telesa
(kocky, hranola, kvádra, ihlanu, …) rovinou
rozumieme prienik roviny
a telesa
.
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny
so stenami telesa
.
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39300282214603edc7b46a69b156bdcb.png)
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/39300282214603edc7b46a69b156bdcb.png)
Rezom je rovinný konvexný útvar - mnohouholník, ktorého strany sú priesečnice rezovej roviny
![\rho \rho](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6c4988274625f65fadafa6dc503f16c.png)
![T T](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5311b5f620750279a64c870af344aea8.png)
Z toho dôvodu sa rez vyznačuje len na povrchu telesa aj s patričnou viditeľnosťou.
Rezy telesa rovinou
Metóda spájania bodov ležiacich v stene daného telesa
Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.
Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach.
Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.
Pri tejto metóde využívame axiómu: Ak dva body priamky ležia v rovine, potom všetky body priamky ležia v tejto rovine.
Nech dva body
ležia v stene
daného telesa.
Priamka určená bodmi
pretína priamky určené stranami štvoruholníka
, ktoré sú s ňou rôznobežné.
Napríklad priamka
na obrázku pretína priamky určené stranami
v bodoch
.
Metóda rovnobežnosti
![K, L K, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95ee5bc3c018bcb521ec02484a692cbb.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
Priamka určená bodmi
![K, L K, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95ee5bc3c018bcb521ec02484a692cbb.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png)
Napríklad priamka
![K, L K, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/95ee5bc3c018bcb521ec02484a692cbb.png)
![BC, AD BC, AD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/91a0620d4a1c74491c817b3b1b45d064.png)
![1, 2 1, 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92963defdbac8bd4a8b7a2cefacc9a9d.png)
Pri tejto metóde využívame vlastnosť rovnobežných rovín:
Dve rovnobežné roviny, pretína rovina s nimi rôznobežná v dvoch navzájom rovnobežných priamkach.
Nech dva body rezu
ležia stene
telesa a bod rezu
leží v rovnobežnej stene
.
Priamka rezu prechádzajúca bodom
pretína priamky steny
v bodoch
.
Metóda osovej afinity
![M, L M, L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/40d97f55887194760dcdefd078693536.png)
![ADHE ADHE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4b3f1f5fd601f71893093f152f639c58.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![BCGH BCGH](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fb42c54ecdaec0a7c1e65cadaa7e368b.png)
Priamka rezu prechádzajúca bodom
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![BCGF BCGF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c2262011b30b6b59a93cf2a5f8c5060.png)
![1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF 1 ∈ CG, 2 ∈ FG, 3 ∈ BF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4d3edf07f9e86e9b893b1d0515ba299e.png)
Pri tejto metóde využívame vlastnosť osovej afinity:
Dve odpovedajúce si priamky v osovej afinite sa pretínajú v samodružnom bode ležiacom na osi afinity alebo sú rovnobežné.
Metóda spájania a rovnobežnosti
Komentár k riešeniu
Body
ležia v stene
a priamka
, ktorá je nimi určená, tiež leží v tejto stene.
Bod
leží v stene
, ktorá je rovnobežná s
. Priamka rezu prechádzajúca bodom
musí byť rovnobežná s
Priesečníky
s priamkami
sú bodmi rezu. Priamka
je priamkou rezu, jej priesečník
s
je bodom rezu.
Priamka
je rovnobežka s priamkou
. Bod rezu
je možné zostrojiť aj pomocou bodu
.
![L,M L,M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7a11e9d623cf4b2df5bcfd299b4d8ecc.png)
![ADHE ADHE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fa7289ed26d47b34425eba1c0c9f3d13.png)
![LM LM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c7d351b6d25ed8b7abf2fedf58ca012.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a2780cb6b8ff6ef086d4025893f4b654.png)
![BCFG BCFG](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3b83291470c51c52c53ba2caa8d36483.png)
![ADHE ADHE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fa7289ed26d47b34425eba1c0c9f3d13.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a2780cb6b8ff6ef086d4025893f4b654.png)
![LM LM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c7d351b6d25ed8b7abf2fedf58ca012.png)
![1, 2 1, 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d3ad3cb9d9780637cd979108b228fa.png)
![BF,CG BF,CG](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3359443cfe026e0cb5fae0c17015ad90.png)
![M1 M1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/afb148d6e4778f419b398a8938d00adb.png)
![3 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43f339494a81e106b98079ba9c2b0f4d.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4124171f6b852a5059881f411546716f.png)
![L4 L4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a1169e6003939b0c3b56898112882ede.png)
![K3 K3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0378a1e0923f65c977259a607b072f5d.png)
![4 4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d8fe2a509fbc20df392b36216bb0b856.png)
![5 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aabf1eeeafba492fa8c7343c13f259a4.png)
Učiteľ môže kontrolovať presnosť žiackych riešení:
Body
musia ležať na jednej priamke aj pri zmene polohy bodov
.
Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany rovnobežné
Napr.
bude platiť aj pri zmene polohy bodov
. Pohybujte s nimi.
![1, K, 2, 5 1, K, 2, 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5d9ba033d4025941bc1732014809bc0.png)
![K,L,M K,L,M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79bfb44d59f4ec1609fd8f8f856fa0e6.png)
![ML ∥ K2, 24 ∥ M3 ML ∥ K2, 24 ∥ M3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79581d2ebf8b13d42337b962d4e4a3e2.png)
![K,L,M K,L,M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/79bfb44d59f4ec1609fd8f8f856fa0e6.png)
Program GeoGebra umožňuje zostrojiť rez telesa rovinou priamo pomocou nástroja Prienik dvoch plôch
Metóda osovej afinity
Komentár k riešeniu
Body
ležia v podstave
, preto priamku
môžeme považovať za os afinity.
Bod
leží na hrane
, preto bod
môžeme považovať za jeho obraz v osovej afinite medzi rovinou rezu a podstavou ABCD.
Priesečník
s priamkou
je bodom rezu. Priamka
je priamkou rezu, jej priesečník
s
je bodom rezu.
Podobne pomocou osovej afinity zostrojíme bod rezu
. Bod
leží na rovnobežke s
.
![K,L K,L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f3b517592860f08dd80d1e543f003d3b.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1ea6a815485d05f1c11d65a89209fae.png)
![Kl Kl](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1a7bd8bf838cca8c17542e9745ef042c.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![AE AE](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2dcd46962d6f33a77086cc4e7460b33e.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35c0804c862a635e2fe8371dc43e25d0.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfda2c63a6b4f70f610eb963324646d.png)
![M1 M1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cbabffad4ac415e562881d3d5e675a1f.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
![BF BF](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25799ccce535f057e5c8f24d2b8582e6.png)
![3 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4047386ab7115fcd58f871a285084df2.png)
![4 4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/82938e2034dac035e17e77d207d253f0.png)
![M1 M1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cbabffad4ac415e562881d3d5e675a1f.png)
Učiteľ môže kontrolovať presnosť žiackych riešení:
Rezom je mnohouholník, ktorý má niektoré strany navzájom rovnobežné. Zmenou polohy bodu K môžu vzniknúť trojuholník až šesťuholník.
V tomto applete je možné nastaviť polohu bodov
tak, aby rezom bol trojuholník, rovnobežník, lichobežník aj päťuholník.
![K,L K,L](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f3b517592860f08dd80d1e543f003d3b.png)
Metóda stredovej kolineácie
Komentár k riešeniu
Body
ležia v podstave
, preto priamku
môžeme považovať za os stredovej kolineácie.
Bod
leží na hrane
, bod
sa zobrazí v stredovej kolineácii do bodu
.
Bod
je priesečník
s osou kolineácie a je samodružný bod. Bod
je bodom rezu, ktorý sa zobrazí do bodu
.
Priama
má samodružný bod
. Bod rezu
, ktorý sa zobrazí do bodu
. Podobne využijeme bod
.
![L, M L, M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a31a977da064701bdaad041a65fe9fcc.png)
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a6f1b9c6e342df647b99fcba665a3631.png)
![LM LM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9c7d351b6d25ed8b7abf2fedf58ca012.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a2780cb6b8ff6ef086d4025893f4b654.png)
![DV DV](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4de53caabc94439957bd04d784b4c362.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a2780cb6b8ff6ef086d4025893f4b654.png)
![D D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2eab0deb7fa851fcaef7f3cd0c655fd8.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/54cafa3a6d69c189cf2df3978fbdd435.png)
![DA DA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49eddfa852f4cee1a109f52485c1895f.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b35dd1fd8fb2e8ba4a972122aca50b4.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a1f10599d93d68b762e897cc09870a1.png)
![DB DB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0ea898852fa4d96cd48fda6370d93fb8.png)
![3 3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/43f339494a81e106b98079ba9c2b0f4d.png)
![4 4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d8fe2a509fbc20df392b36216bb0b856.png)
![B B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/42a2bb04d3b2d328eaf02706cd47b75b.png)
![5 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aabf1eeeafba492fa8c7343c13f259a4.png)
Učiteľ môže kontrolovať presnosť žiackych riešení:
Odpovedajúce priamky sa musia pretínať v samodružnom bode na osi kolineácie.
Rezom je mnohouholník. Vo väčšine prípadoch protiľahlé strany nie sú rovnobežné. Pohybujte s bodmi
.
![K, L, M K, L, M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/eda720ca479efbd019a8aeb830bcd63f.png)
Rez telesa - demo
Prezentácia: rez hranola - zadanie; postup konštrukcier
Cvičenie
-
Zostrojte rez kocky
rovinou
, ak:
, použite len metódu spájania. Zadanie → .
, použite len metódu rovnobežnosti. Zadanie → .
, použite kombinovanú metódu spájania a rovnobežnosti. Zadanie → .
, použite osovú afinitu. Zadanie → .
Body
ležia na mimobežkách. Zadanie → .
- Písomka. Zostrojte rez kocky
rovinou
. Zadanie →
-
*
Mnohosten
má steny
. Trojuholník
je rovnostranný a jeho strany majú dĺžku
. Päty kolmíc, ktoré prechádzajú vrcholmi
na rovinu
sú stredmi úsečiek
. Priamka
je rovnobežná s rovinou
a leží vo vzdialenosti
. Zadanie
- Narysujte tento mnohosten v GeoGebre a vytvorte jeho sieť.
- Zostrojte kolmicu
vedenú bodom
na stenu
- Zostrojte skutočnú veľkosť úsečky
, kde
je päta kolmice
.
- Vypočítajte povrch a objem mnohostena
ABCDE.
- Je daný rovnobežnosten s podstavou pravidelného šesťuholníka. Zostrojte rez rovinou
, kde
,
,
. →
- Zostrojte rez štvorstena
rovinou
, kde
leží v rovine trojuholníka
,
leží na
a
leží na výške ihlana. → .
Zdroje 1.a až 1.e: Polák, J.: Didaktika matematiky. Str. 326. r