Goniometrické funkcie
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Planimetria a stereometria N |
Kniha: | Goniometrické funkcie |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 10:27 |
Historické poznámky
Stručný prierez vývojom
- Už cca okolo roku 1900 pred n. l. starí babylonskí astronómovia zaznamenávali polohu a pohyby hviezd, pričom používali základy sférickej trigonometrie.
- Staroveký Babylončania - delenie plného uhla na 360 rovnakých dielov. Oblúková miera - 1 radián (Thomson v roku 1871) je stredový uhol, ktorý prislúcha oblúku s rovnakou dĺžkou, ako je polomer kružnice.
- Názov goniometria pochádza z gréčtiny: gónia - uhol, roh a metron - merať) - oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá goniometrickými funkciami
- Staroveké Grécko (Thales a výška pyramídy, slnečné hodiny - tieň tyče a funkcia kotangens - pomer dĺžky stĺpa a dĺžky tieňa).
- Názov „trigonometria“ pochádza z gréčtiny a znamená „merať trojuholník“.
- Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly.
- Astronóm Hipparchos (pochádzal z Nikaie v Bitýnii, obdobie asi 190 – 120 pred n. l.) a Klaudios Ptolemaios (asi 85 – 165 n. l.)
Pre trojuholník vpísaný do kruhu je každá strana tetivou kružnice. K výpočtu prvkov trojuholníka stačí určiť dĺžku tetivy pomocou stredového uhla, čo je dvojnásobný sínus polovice stredového uhla.
Hipparchos zostavil tabuľky tetív (sínusov) pre rôzne stredové uhly kružnice pri stálom polomere. Napísal dvanásť kníh k tejto problematike. Písomné doklady pochádzajú od Ptolemaios v knihe Almagest.[1]
Hipparchos zostavil tabuľky tetív (sínusov) pre rôzne stredové uhly kružnice pri stálom polomere. Napísal dvanásť kníh k tejto problematike. Písomné doklady pochádzajú od Ptolemaios v knihe Almagest.[1]
[1] Smýkalová, R. : Goniometrické funkce v elementární matematice. (Czech). Brno, 2016. Dostupné na: https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/404316
Arabskí učenci zaviedli pojem sínus ako vzťah medzi polovicou uhla a polovicou tetivy.
Arddhadžíva (džíva) - dĺžka polovice tetivy. Arabský preklad: džiba
džaib (prsia, výstrih, vypuklosť). V 12. storočí preklad do latinčiny: sinus.
V 6. storočí Varahamihira vo svojej práci použil vzorec pre súčet kvadrátov sin a cos. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v uzavretom intervale
.
Analytický pohľad na goniometrické funkcie vytvoril Leonhard Euler roku 1748 v spise Introductio in analysin infinitorum [2], kde tieto funkcie definoval pomocou nekonečných radov. Používal zápisy: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec.
_________________________________________________________________________________________
[2] INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM. Translated and annotated by. Ian Bruce Dostupné na: http://www.17centurymaths.com/contents/introductiontoanalysisvol1.htm resp. Tu
text
![\rightarrow \rightarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3ae0ef7a1a6c7ff445fc724186aa110.png)
V 6. storočí Varahamihira vo svojej práci použil vzorec pre súčet kvadrátov sin a cos. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v uzavretom intervale
![](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/23b58def11b45727d3351702515f86af.png)
Analytický pohľad na goniometrické funkcie vytvoril Leonhard Euler roku 1748 v spise Introductio in analysin infinitorum [2], kde tieto funkcie definoval pomocou nekonečných radov. Používal zápisy: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec.
_________________________________________________________________________________________
[2] INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM. Translated and annotated by. Ian Bruce Dostupné na: http://www.17centurymaths.com/contents/introductiontoanalysisvol1.htm resp. Tu
Definície funkcií
Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky protiľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
applet
sin
sin
cos
cos![\alpha = \frac{b}{c} \alpha = \frac{b}{c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/defc51425bb3a9bdce94f253674e55fb.png)
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438828/mod_book/chapter/11229/Koment%C3%A1r%202020-12-01%20122917.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438828/mod_book/chapter/11229/Koment%C3%A1r%202020-12-01%20123847.png)
![( \alpha ) = ( \alpha ) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d534fe22f8f7d45f53072b7f72588a8.png)
![\alpha = \frac{a}{c} \alpha = \frac{a}{c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28e0cd52afc46b70b52cd9695944e041.png)
![( \alpha ) = ( \alpha ) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d534fe22f8f7d45f53072b7f72588a8.png)
![\alpha = \frac{b}{c} \alpha = \frac{b}{c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/defc51425bb3a9bdce94f253674e55fb.png)
Tangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok protiľahlej a priľahlej odvesny ostrého uhla:
tg
tg
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok priľahlej a protiľahlej odvesny ostrého uhla:
cotg
cotg
tg
![( \alpha ) = ( \alpha ) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d534fe22f8f7d45f53072b7f72588a8.png)
![\alpha = \frac{a}{b} \alpha = \frac{a}{b}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a3316a6ed368783b3f2cc8f221b42f09.png)
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok priľahlej a protiľahlej odvesny ostrého uhla:
cotg
![( \alpha ) = ( \alpha ) =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0d534fe22f8f7d45f53072b7f72588a8.png)
![\alpha = \frac{b}{a} \alpha = \frac{b}{a}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ad3c0a4e8095f352b341e9e988461fa.png)
Doplňte applet pre hodnoty funkcie tangens a kotangens.
Kosínus je pomer priľahlej odvesny k prepone. Priľahlá k uhlu
je odvesna
. Preto bude
cos
využijúc vzťah
90
dostaneme
sin
cos
cos (90
.
Vzťahy medzi sin a cos resp. tg a cotg
sin(
) = cos(90
); cos(
) = sin(90
)
tg(
) = cotg(90
); cotg(
) = tg(90
)
![\beta \beta](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d12a0aadcfba3c64c44deb4d6bcc166a.png)
![a a](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e49736f09a17efd3daec360132426f43.png)
cos
![\beta = \frac{a}{c} \beta = \frac{a}{c}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8df6bcaf71f37e4a6841b35e70ec1444.png)
využijúc vzťah
![\beta= \beta=](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/663c0a256e47e931320aa6bceedce3ae.png)
![^ \circ- \alpha ^ \circ- \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd618432487b1e0160fdca7f5ce21268.png)
sin
![\alpha = \frac{a}{c} = \alpha = \frac{a}{c} =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a21a9ab99605700071d4e4a0fbc49a32.png)
![\beta = \beta =](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/231cae3da89d95860ead79d86d95560e.png)
![^\circ- \alpha ) ^\circ- \alpha )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/99cba2ef314bdba7f243655e09db2444.png)
Vzťahy medzi sin a cos resp. tg a cotg
sin(
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![^\circ- \alpha ^\circ- \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c46b9e38bd79de17504666f2f7b4777d.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![^\circ- \alpha ^\circ- \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ed1675b607a9d00b848dbc8b22a363e.png)
tg(
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![^\circ- \alpha ^\circ- \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1ed1675b607a9d00b848dbc8b22a363e.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![^\circ- \alpha ^\circ- \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c46b9e38bd79de17504666f2f7b4777d.png)
Úlohy
Riešte nasledujúce úlohy
- Zostrojte pravouhlý trojuholník
s pravým uhlom pri vrchole
tak, aby platilo
a sin
. .
- Zostrojte pravouhlý trojuholník
s pravým uhlom pri vrchole
tak, aby platilo
a
. Zostrojte obraz
bodu
v osovej súmernosti
. Zostrojte štvorec
tak, aby body
ležali na stranách
. Riešenie Tu
- Využitím rovnostranného trojuholníka vypočítajte sin(30°), cos(30°), tg(30°), cotg(30°).
- V pravouhlom trojuholníku
s pravým uhlom pri vrchole
je dané
. Vypočítajte
a
.
- Je daná kružnica
, kde
, a bod
s
. Vypočítajte veľkosť uhla, ktorý zvierajú dotyčnice z bodu
ku kružnici
.
Riešenie úlohy 3
Nech rovnostranný trojuholník
má stranu
. Výšku trojuholníka vypočítame pomocou Pytagorovej vety.
Využitím pravouhlého rovnoramenného trojuholníka vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií pre uhol
.
Nech rovnostranný trojuholník
![KLM KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/49f4caf3234e13cb439ffa0e4532b456.png)
![KM =1 KM =1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9367a299d5ae2bf4602c5641841302cd.png)
Využitím pravouhlého rovnoramenného trojuholníka vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií pre uhol
![\xi = 45^ \circ \xi = 45^ \circ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34c5ae6fe253b6d7e9fa671198053eaa.png)
Zobrazenie - vlastnosti
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu - vlastnosti
Ukážeme, že zobrazenie nie je injektívne. Dvom rôznym reálnym číslam môžeme priradiť ten istý bod.
sa zobrazia do bodu
pre
. Zobrazenie nie je injektívne.
Ku každému bodu kružnice v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) existuje kladné reálne číslo, ktoré je rovné dĺžke oblúka
. Zobrazenie je surjektívne.
- Skúmajme, do ktorého bodu jednotkovej kružnice sa zobrazí číslo
.
- Obvod jednotkovej kružnice je rovný číslu
.
- Dĺžka oblúka
predstavuje
štvrtinu dĺžky celej kružnice (bod
).
- Číslo
je
, čo predstavuje štvrtinu celého obvodu kružnice
- Preto sa číslo
zobrazí do bodu
.
- Uvažujme o čísle
, čo predstavuje jeden a štvrť obvodu kružnice.
- Preto sa aj číslo
zobrazí do bodu
. Celá kružnica plus jedna jej štvrtina.
![2k\pi+\frac{ \pi}{2} 2k\pi+\frac{ \pi}{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16719cc34bc68bf654a9c2bf6a266665.png)
![M = (0,1) M = (0,1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/08c72303491fe825a7bc7276f08afe54.png)
![k \in R k \in R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bdb0ca5fe26a3c4c554fffbb0a9fd46f.png)
Ku každému bodu kružnice v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) existuje kladné reálne číslo, ktoré je rovné dĺžke oblúka
![JM JM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/36f07993028d51e15fc5571713b323ea.png)
Záver
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu je surjektívne ale nie je injektívne.
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu je surjektívne ale nie je injektívne.
Úlohy
Riešte nasledujúce úlohy
- Ktorý bod bude priradený číslu
?
- Určte všetky reálne čísla, ktorým je na jednotkovej kružnici priradený bod
podľa obrázka. Bod
leží na osi II. kvadrantu.
- Ktoré body jednotkovej kružnice sú priradené číslam
, kde
?
- Určte všetky reálne čísla
, ktorým je priradený rovnaký bod jednotkovej kružnice ako číslu
a (
).
Riešenie úlohy č. 1
Prevod stupňov na radiány
,
kde
je veľkosť uhla v radiánoch a
je veľkosť uhla v stupňoch
Prevod radiánov na stupne
sr
![r = s \cdot \frac{2 \pi }{360} r = s \cdot \frac{2 \pi }{360}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c60a0e1c9f8d4773099bd3204babda07.png)
kde
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![s s](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/793d6602f044affad0290fdc4f61ce36.png)
Prevod radiánov na stupne
![s = r \cdot \frac{360 }{2 \pi} s = r \cdot \frac{360 }{2 \pi}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ddbbfc335266e897a3b3fe13a50e8839.png)
Definície pomocou kružnice
V predchádzajúcej časti sme definovali zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu
priradí bod
jednotkovej kružnice.
Goniometrické funkcie môžeme/vieme definovať pre ľubovoľne veľký uhol pomocou jednotkovej kružnice.
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![M = [M_x; M_y] M = [M_x; M_y]](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2e118a92f2e9767a264824dcfe1cc7b1.png)
Goniometrické funkcie môžeme/vieme definovať pre ľubovoľne veľký uhol pomocou jednotkovej kružnice.
Funkcia sínus a kosínus
Nech
je ľubovoľné reálne číslo a nech
je jednotková kružnica. Potom
sin
a cos
.
Nech
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![k=(S, r=1) k=(S, r=1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/096cd75581de47e401d8a1636d70e9df.png)
sin
![(x) = M_y (x) = M_y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/db24c11778259f05376cefb1f3aefa69.png)
![(x) = M_x (x) = M_x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/427c79582f72b8ca5d1e948212937be7.png)
Grafy funkcií sínus a kosínus
Vlastnosti sínus/kosínus
Definície funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice zodpovedá definícii pre ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku.
V pravouhlom trojuholníku
s ostrým uhlom
má protiľahlá odvesna veľkosť
, čo predstavuje -
-ovú súradnicu bodu
. Prepona má veľkosť
. Potom
sin
.
V pravouhlom trojuholníku
![SM_xM SM_xM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac59aa839fab56573d643210514f0c7a.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
![|MM_x| |MM_x|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/78083209862d65a66447c56017a2e600.png)
![y y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ee23c4f89cdc7b5be951059c2435fa2d.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![|SM| = 1 |SM| = 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9bf3185c4a9fc4c9f5b1b73f11a60510.png)
sin
![(x) = y(M) (x) = y(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4026a22bbfcf1359d89406976d9f0fe0.png)
Symetria sin a cos
sin(π + x) = − sin(x), cos(π + x) = − cos(x)
sin(2π − x) = − sin(x), cos(2π − x) = cos(x)
Dôležité hodnoty pre 0° 30° 45° 60° 90°
sin(x)![\; \; 0 \;\; \;\frac{1}{2} \;\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2} \;\;\; 1 \; \; 0 \;\; \;\frac{1}{2} \;\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2} \;\;\; 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3753004ba7549354553b777c8d1ac9f2.png)
cos(x)![\; 1 \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2}\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \;\frac{1}{2} \; \; \;\;0 \; 1 \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2}\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \;\frac{1}{2} \; \; \;\;0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b2e755de6b8700406451f5d832810bb0.png)
sin(π + x) = − sin(x), cos(π + x) = − cos(x)
sin(2π − x) = − sin(x), cos(2π − x) = cos(x)
Dôležité hodnoty pre 0° 30° 45° 60° 90°
sin(x)
![\; \; 0 \;\; \;\frac{1}{2} \;\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2} \;\;\; 1 \; \; 0 \;\; \;\frac{1}{2} \;\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2} \;\;\; 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3753004ba7549354553b777c8d1ac9f2.png)
cos(x)
![\; 1 \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2}\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \;\frac{1}{2} \; \; \;\;0 \; 1 \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2}\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \;\frac{1}{2} \; \; \;\;0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b2e755de6b8700406451f5d832810bb0.png)
Autor: Daniel Mentrard. Dostupné Tu
Posunutie grafu
Vzorce
Súčtové vzorce pre sínus a kosínus
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438828/mod_book/chapter/11235/SuctoveSinCos.png)
Stiahnite si applet od M. Vinkléra Tu
Cvičenie
Poznámky
- ...
- ...
...