Trojuholník - cvičenia
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Planimetria a stereometria N |
Kniha: | Trojuholník - cvičenia |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 10:26 |
Trojuholník ABC
Definícia A (trojuholník v Hibertovom axiomatickom systéme)
Nech
sú dané nekolineárne body. Pod trojuholníkom
rozumieme prienik polrovín
.
Nech
![A , B, C A , B, C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/65ec35529d4d264859d5e0888110555f.png)
![ABC ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12c774468f981a9487c30773d8093561.png)
![\overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB} \overrightarrow{ABC}, \overrightarrow{BCA}, \overrightarrow{CAB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b8a2ce44f8a3391439560c6d4853b9f2.png)
![\triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB} \triangle ABC := \overrightarrow{ABC} \cap \overrightarrow{BCA} \cap \overrightarrow{CAB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/035cc9d93353fc20f5e8792760b33aa3.png)
Základné pojmy
Otvorte so applet Tu
- Body
sú jeho vrcholy.
- Jednotlivé úsečky
sú strany
.
- Vrcholy a strany tvoria spolu hranicu trojuholníka
.
- Body, ktoré sú zároveň vnútornými bodmi polrovín
sú vnútorné body alebo vnútro
.
- Body, ktoré neležia ani na hranici ani vnútri
, sú vonkajšie body alebo vonkajšok
.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438821/mod_book/chapter/11188/TrojuholnikDef%20%281%29.png)
Otvorte so applet Tu
Poznámky
Dve vety o trojuholníku
Za základné vety (vlastnosti) trojuholníka považujeme nasledujúce dve vety:
- vetu o súčte vnútorných uhlov v trojuholníku
- trojuholníkovú nerovnosť
Tieto vety sa opierajú o tvrdenia súvisiace s uhlami pri základni rovnoramenného trojuholníka (Euklides Základy T/V), tvrdením o vonkajšom uhle trojuholníka(Základy T/XIII), tvrdením, že oproti väčšiemu uhlu trojuholníka leží väčšia strana (Základy T/XIX) a tvrdením T/XXIX.
Veta (Súčet vnútorných uhlov)
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Súčet veľkostí všetkých vnútorných uhlov v trojuholníku je rovný 180°.
Poznámka.
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
Euklides pri dôkaze tohto tvrdenia využíva tvrdenia
- T/XXIX - "Priamka pretínajúca rovnobežky vytvára striedavé zhodné uhly a vonkajší uhol sa rovná opačnému vnútornému uhlu a súčet vnútorných uhlov na tej istej strane sa rovná dvom pravým uhlom."
- T/XXXI - "Daným bodom je možné zostrojiť priamku rovnobežnú s danou priamkou"
Interpretácia tvrdenia.
Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.
Euklidov dôkaz
applet
Presuňte vrcholy tak, aby sa všetky vrcholy prekrývali. V nasledujúcom applete aktivujte posuvník.
Euklidov dôkaz
applet
Tvrdenie (Trojuholníková nerovnosť, Euklidove Základy: Kniha prvá, Tvrdenie XX)
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
V každom trojuholníku ktorékoľvek dve strany (súčtom) sú dlhšie než ostávajúca tretia strana.
Dôkaz:
Nech je daný trojuholník
. Na predĺžení strany
za bodom
zvoľme bod
tak, aby
(Post. 2.)
Trojuholník
je rovnoramenný, odkiaľ dostávame:
(Tvrdenie V)
Teda
. Keďže v trojuholníku
oproti väčšiemu uhlu leží dlhšia strana, platí
(Tvrdenie XIX)
Tu otvoriť →
Zhrňme naše výsledky: Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →
Nech je daný trojuholník
![ABC ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c5128f579b83322a464b5b5065364dd8.png)
![BA BA](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/890cd7f488dd4f9bd920bc004ea1386c.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![D D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f4396bab5869c1e0c9f8a7620bf2518.png)
![DA=AC DA=AC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/04115fce67159592cd2129f7c803336a.png)
Trojuholník
![ACD ACD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fcb3bb8320953285e8933d5769ac808a.png)
![∡ADC= ∡ACD ∡ADC= ∡ACD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b73b524bfb82a5d4219003eda03e63ef.png)
Teda
![∡BCD >∡ADC ∡BCD >∡ADC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b373a1c6d94f7025d02d23e5ed1d2c13.png)
![DCB DCB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d05cddcb351c7a1ea47082f76bba5588.png)
![DB > BC DB > BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2ee72f25a8b38498c6f9ee4da846cc6b.png)
Zhrňme naše výsledky: Konštrukčný dôkaz - GeoGebra →
Druhy trojuholníkov
Trojuholníky môžeme rozčleniť podľa viacerých kritérií, napríklad podľa:
- dĺžky jeho strán
- veľkosti najväčšieho vnútorného uhla.
Vzhľadom na dĺžky (veľkosti) strán v danom trojuholníku rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín
- Rovnostranný trojuholník - všetky strany trojuholníka majú rovnakú dĺžku (sú navzájom zhodné).
- Rovnoramenný trojuholník - práve (len) dve strany rovnakej dĺžky (sú navzájom zhodné).
- Rôznostranný trojuholník - všetky strany majú rozličnú dĺžku (žiadne dve strany trojuholníka nie sú zhodné).
Poznámka.
Zdôvodnenie, že neexistuje viac druhov trojuholníkov vyplýva z dichotomického hľadiska. Pre tri veľkosti strán (resp. pre tri čísla:
) môžu nastať len prípady:
1.
, 2.
, 3.
Zdôvodnenie, že neexistuje viac druhov trojuholníkov vyplýva z dichotomického hľadiska. Pre tri veľkosti strán (resp. pre tri čísla:
![a,b,c a,b,c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png)
1.
![a=b=c a=b=c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/067e8173226f0047ad0e439500259b2f.png)
![a=b≠c a=b≠c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f572b146452451aa1172bef743d58a95.png)
![a≠b, a≠c, b≠c a≠b, a≠c, b≠c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0a201f3b559d1f40143a976a6191b1c6.png)
Vzhľadom na veľkosti veľkosti najväčšieho vnútorného uhla rozdeľujeme trojuholníky do troch skupín
- Ostrouhlý trojuholník – má všetky vnútorné uhly menšie ako 90° (tri ostré uhly).
- Pravouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90° (jeden pravý uhol).
- Tupouhlý trojuholník – má práve jeden vnútorný uhol väčší ako 90° (tupý uhol) a ostatné uhly má ostré.
Ukážka.
V nasledujúcom applete pohybujte vrcholmi trojuholníka. Vytvorte rôzne typy trojuholníkov, ktoré charakterizujú veľkostí strán a veľkosti uhlov. Nájdite napríklad takú polohu vrchol trojuholníka, aby bol pravouhlý a súčasne rovnoramenný (ak taký existuje).
Koľko rôznych typov trojuholníkov reálne vznikne?
V nasledujúcom applete pohybujte vrcholmi trojuholníka. Vytvorte rôzne typy trojuholníkov, ktoré charakterizujú veľkostí strán a veľkosti uhlov. Nájdite napríklad takú polohu vrchol trojuholníka, aby bol pravouhlý a súčasne rovnoramenný (ak taký existuje).
Koľko rôznych typov trojuholníkov reálne vznikne?
Vybrané vety o trojuholníkoch
Definícia (Deliaci pomer)
Nech
sú tri kolineárne body také, že
. Deliaci pomer
bodu
vzhľadom k bodom
rozumieme reálne číslo
(označenie
, pre ktoré platí
.
Pre bod
je
a pre bod
je
. Pre
je zrejme
.
Nech
![\small A,B,C \small A,B,C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aae8cff59f80e449ee04f33e2ac58b03.png)
![\small A \neq B, C \neq B \small A \neq B, C \neq B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b665c95158181fb8141d24f6576f89ae.png)
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/12d338951ac52d50dbc2703c8dffbca1.png)
![\small A,B \small A,B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986fde400fe83e8028abd40e8e24d9c6.png)
![\small \lambda \small \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c3e9f6b447385de83de615d7bd26ea1c.png)
![\small (ABC) \small (ABC)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c406e0ac29eaa18e6cbbc8d8271dfd7.png)
![\small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|} \small |(ABC)| = \frac{|AC|}{|BC|}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e93a9aa37eb4df0e63a8ab5e20b8e3a1.png)
Pre bod
![\small C \notin AB \small C \notin AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/06158cca917ed2cc6fd46bdfd2eddf07.png)
![\small (ABC) > 0 \small (ABC) > 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ab53bccd161ce35756222c3e2d85df29.png)
![\small C \in AB \small C \in AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4051d91612aff82900d9b438f500dacf.png)
![\small (ABC) < 0 \small (ABC) < 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0bfb008f9ac5240977692519cf81e70d.png)
![\small C =A \small C =A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc9d74b28c0ec401945505cfc5a79ef4.png)
![\small (ABC) = 0 \small (ABC) = 0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/496e419ba4f092464d5934ee81f82f0c.png)
Poznámka
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo
, pre ktoré platí:
.
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
V niektorej literatúre sa pod deliacim pomerom troch rôznych kolineárnych bodov rozumie reálne číslo
![\lambda \lambda](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4cb48c4930d87cb162248941da75e0f.png)
![\small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB} \small C = A + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ccba1b403356ed0c1a04a7f553f314c2.png)
Takúto definíciu používa aj GeoGebra.
Dokážte:
Cevova veta
V trojuholníku
sa priamky
, kde
je vnútorným bodom trojuholníka
a
sú body ležiace na stranách odpovedajúcim protiľahlým vrcholom trojuholníka, pretínajú v jednom bode práve vtedy, ak platí:
V trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/aa2d6aafe28505939ab9e0d7a91dbec7.png)
![\small {AK},{BK},{CK} \small {AK},{BK},{CK}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6764bbe915a3fe057adde42ac060b3a6.png)
![\small K \small K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/71b87ac33e1f5180aca6d4fc556ef5fc.png)
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74e0ca4ecc97549a097fed0a7d6c081e.png)
![\small D,E,F \small D,E,F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d4ce2b52f68077341e7dc718615cd14b.png)
![\small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1. \small S=\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/150799494815329fc80cd75d5db64100.png)
Giovanni Ceva bol taliansky matematik žijúci na prelome 17. a 18. storočia. Cevova veta stanovuje podmienku, kedy majú tri priamky prochádzajúce vrcholmi trojuholníka spoločný bod.
Dôkaz
1. (
): Ak sa priamky pretínajú v jednom bode, tak
.
Applet otvoríte Tu
2. (
): Ak
, tak sa priamky pretínajú v jednom bode.
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci1).
Dôkaz
1. (
![\Rightarrow \Rightarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/28388689c0d3e31c2525f8cd70ec7de8.png)
![S=1 S=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dcab6d07cc416502c086f8bcb9ff8baf.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/438821/mod_book/chapter/11196/Sn%C3%ADmka%20.png)
Applet otvoríte Tu
2. (
![\Leftarrow \Leftarrow](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/31b21a2f5e77a479a6982aee0ca6b711.png)
![\small S=1 \small S=1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd81d69ee8b63a21842ffbf862a0ce1c.png)
Pri dôkaze tejto implikácie sa vychádza z priesečníka dvoch priamok. Potom sa zostrojí priamka prechádzajúca týmto priesečníkom a tretím vrcholom. Následne sa dokáže, že táto priamka pretína protiľahlú stranu v bode, ktorý spĺňa podmienky vo vete. V dôkaze sa používajú tie isté podobnosti trojuholníkov ako v prvej časti dôkazu. Podrobnejší dôkaz nájdete v práci1).
Aplikovaním Cévovej vety dokážte, že v ľubovoľnom trojuholníku:
- Ťažnice sa pretínajú v jednom bode - ťažisku. (Využite skutočnosť, že ťažnice prechádzajú stredmi strán a každý z pomerov v Cévovej vete má tvar
.)
- Výšky sa pretínajú v jednom bode - ortocentre. (Využite skutočnosť, že napr.
, ak
je výška.)
- Osi vnútorných uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - stred vpísanej kružnice. (Využite skutočnosť, že os vnútorného uhla rozdeľuje protiľahlú stranu na dve časti, ktorých dĺžky sú v rovnakom pomere ako im priľahlé strany trojuholníka.)
Neskôr tieto tvrdenia dokážeme euklidovskou metódou.
Morleyho veta.
Ak v trojuholníku
zostrojíme polpriamky, rozdeľujúce jeho vnútorné uhly na tretinové veľkosti, odpovedajúce si polpriamky sa pretínajú vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka
.
Ak v trojuholníku
![\small ABC \small ABC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/16b7c6a620a478a545736b9b00f0d6f6.png)
![\small KLM \small KLM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7d1c27617790d13b5d2427b3185a077e.png)
Morleyho veta predstavuje jednu z najprekvapujúcejších vlastností elementárnej geometrie, ktorú v roku 1899 objavil a dokázal anglo-americký matematik Frank Morley (1860-1937). Niektorí matematici nazývajú túto vetu aj ako Morleyov zázrak.
Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu
Dôkaz Morleyho vety nájdete vo forme appletu Tu
Poznámky k dôkazu
- V 2. kroku dôkazu zhodnosť vyplýva z vety
(uhly pri vrchole
... os uhla, pri vrchole
majú veľkosť
, strana
spoločná).
- V 5. kroku dôkazu je potrebné ukázať, že trojuholník
je rovnoramenný (uhly pri základni sú zhodné):
- Morleyova veta sa dá dokázať trigonometricky pomocou sínusovej a kosínusovej vety a vzorcov pre sčítanie uhlov.
_____________________________________________________________________________________________________________
1) Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.
1) Vallo, D.: Geometria perspektívnych trojuholníkov. FPV UKF v Nitre,2005, str.9. ISBN : 80-8050-825-9. Dostupné Tu.
Seminárne zadania
Úloha 1 Larson, Príklad 8.1.16 [1]
Modelovaním v GeoGebre nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Vyriešila Lenka Šusteková a získala plusový bod.
Vypočítajte dĺžku strany takéhoto rovnostranného trojuholníka. Plusový bod!
Modelovaním v GeoGebre nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8. Vyriešila Lenka Šusteková a získala plusový bod.
Vypočítajte dĺžku strany takéhoto rovnostranného trojuholníka. Plusový bod!
Úloha 2
Daný je štvorec
a jeho vnútorný bod
, pre ktorý platí
. Dokážte, že trojuholník
je rovnostranný.
Larson, Larson 1.6.10
Daný je štvorec
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1ea6a815485d05f1c11d65a89209fae.png)
![E E](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6228f7994a21ee53499c6684fac51774.png)
![\angle EBC = \angle ECB = 15^\circ \angle EBC = \angle ECB = 15^\circ](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b5038c21fd6aa1a78e37dfbbd7bfee88.png)
![AED AED](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9189e94eae7e4ad6b026a641058d0724.png)
Konštrukčná úloha
Riešenie 1. úlohy
Úloha. Nájdite dĺžku strany rovnostranného trojuholníka, ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8.
Larson, Príklad 8.1.16 [1]
Riešenie 3. úlohy
Tetiva
konštantnej dĺžky sa pohybuje po kružnici s priemerom
. Stred tetivy
a päty kolmíc
zostrojených v koncových bodov tetivy na priemer kružnice tvoria vrcholy trojuholníka. Dokážte, že trojuholník
je rovnoramenný a nikdy nemení svoj tvar.
Larson, 1.2.1.
![XY XY](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dd7c72b6bbe48b78c6f3b4484d650d50.png)
![AB AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/adfda2c63a6b4f70f610eb963324646d.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/30e1607d7260db1196cd907a6d5a280f.png)
![C, D C, D](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4760fd513aca5f03f44ff348fc977c9b.png)
![CDM CDM](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a01b3dcab536fc40719519e2daf48ba4.png)
Pozri riešenie Tu