Výberové úlohy a zaujímavé študentské riešenia

Problémy - výzvy
V tejto sekcii budú publikované náročnejšie úlohy, ktoré nie sú povinné. Za ich správne vyriešenie vám budú pridelené plusové body, ktoré budú zohrávať významnú úlohu pri celkovom hodnotení (skúška). Plusový bod bude mať váhu ako tri body.
Za úspešné riešenie sa bude považovať: správne riešenie s postupom riešenia resp. s komentárom, ktoré študent bude schopný prezentovať na seminári.
Riešenia odovzdajte/vložte do časti: Priestor na vkladanie riešení "Výberových úloh".

1. Vypočítajte výšku Chufevovej pyramídy, ktorá má tvar pravidelného štvorbokého ihlana. Navrhnite metódu výpočtu jej výšky, ak poznáš dĺžku jej tieňa od základne po bod $\small P$. (Tálesova metóda).
   
   Z obrázku je zrejmé, že je nutné poznať aj dĺžku $\small SQ$ a nielen dĺžky tieňov.
2. Delenie úsečky
   Pokúste sa rozdeliť úsečku na tri zhodné časti  bez použitia podobnosti.
   Za správnu odpoveď získate 1 plusové body.
3. Rovnostranný trojuholník
   V GeoGebre zostrojte taký rovnostranný trojuholník , ktorého vrcholy majú od nejakého vnútorného bodu vzdialenosti 5, 7, 8.Určte dĺžku strany takého trojuholníka. Pozri: Larson, Príklad 8.1.16 ^[1]
   Za správnu odpoveď získate 1 plusový bod.
4. Vpísaný štvorec trojuholníku. Nech $\small \triangle ABC$ má základňu $\small BC$ a výšku $\small h$ z bodu $\small A$ na $\small BC$. Štvorec $\small PQRS$ je vpísaný do $\small \triangle ABC$ tak, že vrcholy $\small P$ a $\small Q$ ležia na stranách $\small AB$ a $\small AC$ a vrcholy $\small R$ a $\small S$ ležia na $\small BC$. Vyjadrite dĺžku strany štvorca $\small x$ v závislosti od $\small a$ (dĺžka$\small BC$) a $\small h$ (výška trojuholníka).
   Za správnu odpoveď získate 1 plusový bod. Pozrite si knihu "Planimetria" od V. V. Prasolova, ktorá je dostupná v angličtine Tu; originál Tu.
   Úlohu správne vyriešila Dorota Šusteková.
5. Vlastný výber
   Vyberte si ľubovoľnú úlohu z knihy "Planimetria" od V. V. Prasolova.
   Za jej správne vyriešenie získate 1 plusový bod.
6. Problém s obsahmi
   Pozrite obrázok nižšie a demonštračný applet si stiahnite Tu.
   
   Kde sa stala chyba?
   Za správnu odpoveď získate 1 plusový bod.
   Prvý odhalil chybu Erik Vrbinčík a právom mu prináleží plusový bod.
7. Ťažnice v trojuholníku
   a) Dokážte, že "Ťažnice v ľubovoľnom trojuholníku sa pretínajú v jednom (T)" bode pomocou osovej afinity.
       Za správnu odpoveď získate 2 plusové body.
   b) Nájdete iný dôkaz tvrdenia (T) ako dôkazy uvedené v tomto kurze.
       Za každý iný dôkaz získate 1 plusový bod.
8. Dvanásťuholník
   Rovnostranné trojuholníky: $ABK,BCL,CDM,DAN$ ležia vo vnútri štvorca $ABCD$. Dokážte, že stredy štyroch úsečiek $KL,LM,MN,NK$ a stredy ôsmych úsečiek $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ tvoria vrcholy pravidelného 12-uholníka.
   Literatúra: Larson, C.L.: Problem –Solving Through Problems. Problém 1.6.1. Dostupné na internete Tu. Zadanie Tu.
   Za správnu odpoveď získate 1 plusový bod.
9. Poincarè disk
   
   • Vytvorte nový nástroj na zostrojenie polpriamky. Úloha za 1 plusový bod.
   • Vytvorte nový nástroj na zostrojenie dotyčníc ku kružnici. Úloha za 2 plusové body.
10. Nová
    ...