Dynamický geometrický systém (DGS)

Dynamický a interaktívny matematický program GeoGebra je moderný dynamický matematický softvér, ktorý spája geometriu, algebru, analýzu, štatistiku a kalkulátor do jedinečného interaktívneho prostredia.

Názov GeoGebra vznikol spojením Geometria – Algebra, z čoho vyplýva aj charakter tohto softvéru.
Program je vhodný na rysovanie základných geometrických útvarov aj na algebraické výpočty. Autorom programu je Markus Hohenwarter ¹⁾. Program je voľne šíriteľný.

Program GeoGebra sa stal dôležitým nástrojom výučby matematiky na rôznych úrovniach vzdelávania, od základných škôl až po univerzitné štúdium. Jednou z hlavných predností GeoGebry je jej schopnosť prepájať viaceré matematické oblasti v reálnom čase. Používateľ môže napríklad vytvoriť geometrický objekt, ktorý je okamžite doplnený o algebrický výraz opisujúci jeho vlastnosti. Táto synchronizácia uľahčuje pochopenie vzťahov medzi rôznymi matematickými konceptmi a podporuje vizuálne myslenie študentov.

1. V oblasti geometrie ponúka GeoGebra nástroje na konštrukciu a manipuláciu objektov, ako sú body, úsečky, kružnice či mnohouholníky. Ukážka Tu.
2. Dynamika programu umožňuje meniť polohy objektov a okamžite sledovať vplyv týchto zmien na ostatné prvky v konštrukcii. Ukážka Tu.
3. Algebrická zložka pracuje s rovnicami, funkciami a maticami, čo uľahčuje interaktívne riešenie rôznych matematických problémov. Ukážka Tu.
4. GeoGebra  umožňuje analyzovať dáta pomocou regresných modelov, vykonávať pokročilé štatistické výpočty. Ukážka Tu.
5. Kalkulátor v programoch GeoGebra ponúka možnosť vypočítavať limity, derivácie, integrály a riešiť diferenciálne rovnice. Ukážka Tu.
6. Dostupnosť GeoGebry na rôznych platformách, vrátane webových aplikácií, desktopovej verzie a mobilných aplikácií, umožňuje jej široké využitie v rôznych vzdelávacích prostrediach. Navyše, ako open-source softvér poskytuje možnosť ďalšieho rozširovania a adaptácie podľa potrieb učiteľov a študentov.
7. Vďaka svojej interaktivite, prehľadnosti a schopnosti spájať rôzne oblasti matematiky sa GeoGebra stala neoceniteľnou pomôckou v modernom vzdelávaní, ktorá podporuje objavné učenie a zlepšuje matematické myslenie študentov.

Cvičenie.
Otvorte si pracovný hárok a zostrojte niektoré základné geometrické útvary: body, priamky, ...

1) V súčasnosti je profesorom na Univerzite v Linzi
2) Pozrite si stránku "Návody k aplikaci GeoGebra Classic" resp. Manuál

Po spustení programu GeoGebra Classik 5 sa zobrazí

• v hornej časti pracovnej plochy hlavné menu a lišta s nástrojmi
• vľavo - Algebraické okno, vpravo - Nákresňa a dole - Vstup/vstupné pole resp. príkazový riadok
• východiskové nastavenie je možné upraviť pomocou menu Vzhľad
• nastavte si farbu, štýl a popis bodu, ... a potom si uložte prázdny prednastavený výkres pod názvom "PrednaskaGeoGebra_Vykres1".

Príklad. Zostrojte trojuholník $\small \triangle ABC$, ak poznáte dĺžky strán $\small a=BC, b=AC, c=AB$.

r

Komentár k riešeniu

1. Otvorte si prednastavený pracovný výkres Tu. resp. Tu
2. Pomocou menu Vzhľad si aktivujte aj Postup konštrukcie
• v časti Nákresňa budeme rysovať
• v Geometrickom okne 2 budeme zapisovať komentár k riešeniu
• v okne Postup konštrukcie program automaticky zapisuje kroky konštrukcie.
3. Riešenie zahŕňa nasledujúce kroky:
• vytvorenie posuvníkov $a,b,c$
• zostrojenie bodu $\small A$ a úsečky s danou dĺžkou $c$
• zostrojenie kružníc $\small k_1=(A, b), k_2=(B,a)$ a ich priesečníka $\small C$
• zapisovanie komentárov.
4. V prípade, že chcete zobraziť len oblúčiky pri priesečníkoch dvoch kružníc (resp. kružnice a priamky; dvoch priamok),stačí aktivovať "Vlastnosti" pre daný priesečník a začiarknuť políčko "Zobraziť upravené priesečníky priamok". Tento postup sa dá použiť aj pre priesečník dvoch priamok.
5. Nastavte posuvníky $a,b,c$ tak, aby úloha mala 2 riešenia resp. jedno alebo nemala riešenie.
6. Konštrukciu si môžete stiahnuť Tu.

Poznámky.

1. Konštrukcia uvedená pre prípad $AB=BC=AC$ je prvým tvrdením v Euklidových Základoch ($\sigma \tau o \iota \chi \epsilon \iota \alpha$).
2. Ide vlastne o prvý matematický dôkaz aj z pohľadu historického. Pred Euklidom existovali tvrdenia ale bez dôkazu, pozrite si napríklad tvrdenia od Tálesa Tu.
3. Je prekvapujúce, že taký krátky, jasný a zrozumiteľný dôkaz môže mať logické medzery. V priebehu storočí si vyslúžil viac kritiky ako ktorýkoľvek iný dôkaz.
• Zeno Sidon²⁾ : "Nepreukázalo sa, že strany sa nestretnú skôr, ako dosiahnu vrcholy."
  
• Existujú modely geometrie, v ktorých sa kruhy nepretínajú. Napr. afinný priestor nad poľom racionálnych čísel.
4. Potrebné sú ďalšie postuláty napr. :
• "Dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka."
• "Ak je súčet polomerov dvoch kruhov väčší ako úsečka spájajúci ich stredy, potom sa dva kruhy pretínajú."

Dynamické geometrické systémy sa vyznačujú vysokou mierou interaktivity a vizualizácie.

1. Interaktivita DGS umožňuje zmenu vstupných parametrov, ktorá indukuje zmeny v skonštruovaných útvarov. Interaktívna zmena môže byť polohová alebo metrická. Príklady: Padajúci rebrík; Hypocykloida.
2. Vizualizácia je schopnosť znázorniť základné aj odvodené geometrické pojmy a vzťahy medzi nimi. (Žilková, 2011)¹⁾
3. Úroveň vizualizácie priamo závisí od reprezentácie východiskových elementárnych pojmov/objektov.
4. Východiskovým pojmom v DGS je bod.
5. Odvodené pojmy (priamka, kruh, ...) sú definované ako množiny bodov s danou vlastnosťou v súlade s axiomatickým poňatím geometrie.

V GeoGebre je bod vizuálne modelovaný ako "krúžok" ale reálne je bod reprezentovaný ako usporiadaná dvojica reálnych čísel.

Poznámky.

1. V DGS môže byť bod modelovaný aj pomocou iných symbolov, napríklad sa používajú symboly $\times,+, \diamond$.
2. Väčší výber symbolov rôznej hrúbky a širokej farbenej škále pomáha rozvíjať geometrickú predstavivosť.
3. Symbolicky pre bod platí $A \in E_2 \Leftrightarrow A=[a,b];a,b \in R$.
4. Priamka je určená práve dvoma rôznymi bodmi. V GeoGebre je priamka modelovaná pomocou grafu lineárnej funkcie.
5. Úsečka ako množina bodov, ktoré ležia medzi dvoma bodmi.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1) Žilková, K.: DYNAMICKÉ GEOMETRICKÉ SYSTÉMY (DGS) - SOFTVÉROVÁ PODPORA VZDELÁVANIA. Journal of Technology and Information Education.
     Časopis pro technickou a informační výchovu. 1/2011, Volume 3, Issue 1, ISSN 1803-537X. Dostupné na https://jtie.upol.cz/pdfs/jti/2011/01/12.pdf.
2) Epikureánsky filozof zo začiatku prvého storočia B.C.E. (nezamieňať si so Zenom z Eley, ktorý je známy paradoxmi).

Nástroje programu GeoGebra na rysovanie základných geometrických útvarov

Vyskúšajte si konštrukcie rôznych druhov útvarov v prednastavenom výkrese, ktorý si stiahnite Tu. Program GeoGebra má na hlavnej lište rozbaľovacie ikonky/nástroje,  ktoré umožňujú vykresliť základné rovinné geometrické útvary. Napríklad ikonka

1. Priamka  umožňuje narysovať rôzne jednorozmerné útvary - priamku, úsečku, polpriamku, vektor ...
• Kliknite na túto ikonku v stiahnutom pracovnom hárku a prezrite si ponuku.
• Vyberte požadovaný nástroj a narysujte zvolený geometrický útvar.
2. Kolmica umožňuje narysovať kolmicu, rovnobežku, os úsečky a uhla, dotyčnice ...
• Opakujte postup: Vyberte požadovaný nástroj a narysujte zvolený geometrický útvar.
V nasledujúcom príklade je prezentovaná konštrukcia priesečníka výšok (ortocentra) trojuholníka $\small ABC$ .

Poznámky.

1. GeoGebra umožňuje manipulovať s geometrickými útvarmi, ktoré sa zobrazujú v nákresni.
2. Základným atribútom manipulácie je dynamická zmena polohy bodu, ktorá zachováva incidenciu bodu a geometrického útvaru.
3. Pri používaní DGS sa objavujú slovné spojenia - premiestniť bod, pevný resp. voľný bod, zmena štýlu bodu ... Vallo, Žilková.
4. Zmena polohy bodu má veľký význam, ak skúmame vlastnosť útvaru v závislosti od polohy determinujúcich bodov tohto útvaru.
5. Pri klasickom spôsobe vyučovania geometrie (papier, pravítko, ceruzka) premiestniť bod nie je možné. Narysovaný bod je vždy pevný.
6. Dynamická zmena polohy útvarov, pričom sa nenaruší incidencia týchto útvarov, iniciovala názov dynamické geometrické softvéry.

Definícia.
Budeme hovoriť, že bod $\small A$ pri transformácii $\small T$ je premiestnený do bodu $\small A'=T(A)$, ak platí: $\small A \in U \Leftrightarrow A' \in T(U)$.
Pri premiestňovaní incidencia sa zachováva.

Príklad.
V trojuholníku $\small \triangle ABC$ zostrojte výšky trojuholníka. Pri premiestňovaní vrcholov trojuholníka budú sa výšky pretínať v jednom bode?

server

1. Postup konštrukcie si stiahnite Tu.
2. Vytvorte si vlastnú konštrukciu v novom pracovnom hárku, ktorý si stiahnite Tu.
3. Riešenie zahŕňa nasledujúce kroky:
1. zostrojenie bodov a zostrojenie trojuholníka $\small \triangle ABC$
2. priesečník výšok je priesečník kolmíc/priamok, ktoré sú kolmé na priamky prechádzajúce vrcholmi trojuholníka.
4. Celú konštrukciu si stiahnete Tu.

Poznámka.
Pozrite si vyjadrenie Alberta Einsteina o Euklidových Základoch a o dôkaze, že výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode Tu.

Zobrazenie resp. skrytie objektov 

1. Nasledujúci postup je prezentovaný dynamickou konštrukciou (appletom) pri riešení nižšie uvedeného príkladu
2. Zostrojíme bod $A$. Zvolíme nástroj a z ponuky
3. Vyberieme Začiarkavacie políčko, ktoré pomenujeme napr. názvom $a$
• Aktivujeme Vlastnosti bodu a vyberieme Pokročilé
• Do okna Podmienka na ukázanie objektu napíšeme názov $a$ 
• Pri aktivácii Začiarkavacieho políčka sa bod $A$ zobrazí resp. pri jeho deaktivácii bod $A$ nezobrazí.

Príklad.
Vytvorte konštrukciu, ktorá pomocou začiarkavacích políčok zobrazí (skryje) body $A, B$ a priamku $p = AB$.

Použite pracovný list →

GeoGebra umožňuje zobrazovať text v rôznych formátoch

1. Preddefinované štýly textu: Sans Serif, Serif, Bold, Kurzíva. Farby neobmedzene.
2. Napríklad aktivovaním nástroja po vložení TeX zápisu:
   \textbf \textit \textcolor{00005A} {<strong>Navy</strong>} \; \textbf \textcolor{red} {<strong>Red</strong>} \; \textit \textbf \textcolor{0BDF00} {<strong>Green</strong>}
   sa zobrazí/vytvorí text
   →
3. Môžeme vytvoriť kombináciu normálneho textu s TeX príkazom. Napr. pre text "$\text{Priamka } \overleftrightarrow{AB}$" má príkaz tvar (zápis):
    \text{Priamka } \overleftrightarrow{AB}
4. V nasledujúcej tabuľke je niekoľko ukážok textov, kliknite na príslušný odkaz.

→

→

GeoGebra umožňuje

1. LaTeX zápisy, pričom je možné vkladať základné matematické výrazy a symboly. Pozrite si ponuku pre TeX →.
2. Vytvoriť dynamický text - príkaz: Ak( <Podmienka1>, <Text 1>, <Podmienka 2>, <Text 2>, ..., <Inak>) vytvorí resp. zobrazí
• text "Text 1", keď je splnená prvá podmienka, "Text 2", ak je splnená druhá podmienka atď.
• ak nie je splnená žiadna z podmienok, tak zobrazí text "Inak".

Úloha1.
V nákresni narysujte dva body $\small A,B$ a priamku $\small p=AB$. Aktivujte Geometrické okno 2. Vytvorte TeX zápisy/texty v nákresni a zároveň aj geometrickom okne.

1. \text{Zvoľme si dva rôzne body }A\left [ x_a,y_a \right ]= objekt A ,B\left [ x_b,y_b \right ]= objekt B
2. \text{Priamka }p=\overleftrightarrow{AB}
3. \text{Priesečník }P∈a_x \; ∩ \; b_y; \; \;( a_x∥x, \; b_y∥y)
4. \text{Orientovaný uhol } α=∡\widehat{PAB}= objekt α
5. \text{Smernica }\blue k=tg \: α=\frac{y_b-y_a}{x_b-x_a}=\blue { k }

Úloha 2.
Vytvorte celočíselný posuvník $1 \leq a \leq n$. Potom do vstupného poľa zadajte príkaz:
Ak(a ≟ 1, "Bianka PARIŠKOVÁ", a ≟ 2, "Vladimír KOBZA", a ≟ 3, "Laura KOZOLKOVÁ", "Marek MASTIŠ").
Program GeoGebra

1. pre $a = 1$to zobrazí/vráti text "Bianka PARIŠKOVÁ";
2. pre $a = 2$ zobrazí text "Vladimír KOBZA";
3. pre $a = 3$ to bude text "Laura KOZOLKOVÁ";
4. pre všetky ostatné hodnoty $a \geq 4$ meno "Marek MASTIŠ".

Program GeoGebra umožňuje zobraziť postup konštrukcie, prípadne prehrať celú konštrukciu.

1. V hlavnom menu vyberte Vzhľad a potom zvoľte
   • Postup konštrukcie. Zobrazí sa nové okno vpravo od nákresne, kde môžete sledovať jednotlivé konštrukčné kroky.
   • Geometrické okno 2. V okne aktivujte mriežku.
   • Algebraické okno. Zobrazí sa nové okno vľavo od nákresne, v ktorom sú hodnoty zostrojených útvarov.
2. Tento postup interpretujeme na nasledujúcom príklade.

Príklad.
Zostrojte priamku, ktorá prechádza bodmi $\small A,B$. V Geometrickom okne 2 zapíšte:

1. text vyjadrujúci hodnotu smernice priamky
2. rovnicu priamky
Pre texty použite matematický TeX formát. V okne Postup konštrukcie vytvorte vhodné body lomu.

Pokúste sa o vlastnú konštrukciu v novom pracovnom hárku Tu. Dynamický applet si otvoríte Tu.

Program GeoGebra má k dispozícii pomerne veľa nástrojov na narysovanie základných geometrických útvarov tak v rovine ako aj 3D priestore. Niekedy pri konštrukciách, ktoré sú úzko tematicky zamerané, sa vyskytne potreba vytvoriť nový nástroj.



Napríklad euklidovská konštrukcia na zostrojenie dvoch navzájom kolmých kružníc je východisková konštrukcia aj pre hyperbolickú neeuklidovskú geometriu. Preto by bolo výhodné mať k dispozícii nástroj v GeoGebre, ktorý vytvorí/vykreslí takúto kružnicu.

 Otvorte si applet Tu

Úloha
Zostrojte kružnicu $k$, ktorá je kolmá na kružnicu $\omega$ a zároveň prechádza dvoma rôznymi bodmi $\small A, B \in int( \omega)$.

Definícia
Budeme hovoriť, že kružnice $\small \omega (O,r),\;k(O',r')$ sú navzájom kolmé (ortogonálne), ak platí
$\small (O'=t_p\cap t_q) \wedge (O=t'_p \cap t'_q)$
zostrojené v ich priesečníkoch $P,Q=k\cap \omega$ sú tiež navzájom kolmé.

Základné hyperbolické konštrukcie v Poincarè Disku $\small \omega = \lbrace{ x^2+y^2 \leq 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace$

Využite Poincaré Disk vytvorený v prostredí GeoGebra, v ktorom vieme zostrojiť hyperbolickú úsečku a priamku; kružnicu určenú stredom a bodom resp. polomerom; vieme určiť vzdialenosť dvoch bodov.

Poincaré Disk si môžete stiahnuť Tu. Dynamický applet si otvorte Tu.

Cvičenia

1. Zostrojte rovnostranný trojuholník $\small ABC$ pomocou hyperbolických kružníc $\small k_1=(A,AB), k_2=(B,AB)$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie T/I).
   Riešenie Tu.
2. Zostrojte rovnoramenný trojuholník $\small ABC$ so základňou $\small AB$ pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AB, AC$ a k hPriamkam $\small AB, BC$ určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
3. Zostrojte hyperbolickú priamku $\mu \subset \omega$, ktorá je osou úsečky $\small \alpha =AB$, kde $\small A,B \in \omega$.
   Návod:
   1. Využitím Euklidovho tvrdenia T/I zostrojte hyperbolické rovnostranné trojuholník $\small ABC, ABC'$, kde $\small C'$ je súmerný bod podľa priamky $\small AB$.
   2. V trojuholníku $\small ABC$ zostrojte os prechádzajúcu vrcholmi $\small C,C'$.
   3. Využite Euklidove tvrdenia T/IX a T/X.
   4. Riešenie Tu.
4. Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
5. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \in \alpha$. Pomocou dotyčníc k hPriamkam $\small AP, PC$ ukážte, že uhly pri päte kolmice sú pravé.
6. Zostrojte hyperbolickú kolmicu $\sigma \subset \omega$ na hyperbolickú priamku $\small \alpha =AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \notin \alpha$.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
7. Zostrojte hyperbolickú rovnobežku k hyperbolickej priamke $\small a=AB$, ktorá prechádza bodom $\small P \notin a$. Využite vlastnosť striedavých uhlov.
8. Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka $\small ABC$ (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).

Poznámka
Euklidove tvrdenia využívané v tejto časti platia aj v hyperbolickej geometrii, keďže sú nezávislé na piatom Euklidovom postuláte.

Trojdimenzionálna verzia programu GeoGebra umožňuje zobrazovať priestorové útvary v euklidovskej rovine.

Uvádzame ukážku konštrukcie Rez kockou od autora Vinkler.

Stiahnite si konštrukciu v GeoGebre Tu. Dynamický applet si otvoríte Tu.
Na stránke http://www.geogebratube.org/ sa nachádza veľké množstvo edukačných materiálov.

Cvičenie

1. Zostrojte rovnoramenný lichobežník $\small ABCD$, ak poznáte dĺžky základní $a, c$ a veľkosť vnútorného uhla $\alpha$. [Zdroj →] Popis konštrukcie:
   1. $\small AB; |AB| = a$
   2. $\small S$ - stred $\small AB$
   3. $\small P; P \in \vec{SA} , |SP| = c/2$
   4. $\small p; P \in p, p \perp AB$
   5. $\small \vec{AX}; |\angle BAX| = \alpha$
   6. $\small D; D \in p \cap \vec{AX}$
   7. $\small q; D \in q, q \parallel AB$
   8. $\small C; C \in q, |DC| = c, |DS| = |CS|$
   9. štvoruholník $\small ABCD$
   Otvorte si zadanie Tu Riešenie Tu


2. Zostrojte trojuholník $\small ABC$, ak je daná strana $\small a=BC$ , ťažnica $t_a=\small AS_a$ a veľkosť vnútorného uhla $\alpha$. [Zdroj →, str. 20]
   Rozbor:
   Najprv umiestnime úsečku $\small BC$ o veľkosti $a$. Nad touto úsečkou je uhol $\alpha$, môžeme teda využiť množinu $M_ \alpha$, tj. množinu vrcholov uhlov, z ktorých vidíme úsečku $\small BC$ pod uhlom $\alpha$. V tejto množine leží hľadaný vrchol $\small A$. Zároveň vrchol $\small A$ leží aj na kružnici m so stredom v strede úsečky $\small BC$, ktorá má polomer $t_a$.


3. Zostrojte kružnicu, ktorá prechádza bodom $\small K$ a dotýka sa polpriamok $p, q$.
   r

Otvorte si zadanie Tu.
Rozbor
Množina stredov všetkých kružníc, ktoré ležia vnútri uhla $\small BAC$ a dotýkajú sa polpriamok $\small AB, AC$ je os uhla $\small BAC$ okrem bodu $\small A$.
Na osi uhla si zvolíme ľubovoľný stred $\small D$ pomocnej kružnice $c$. Hľadaná kružnica a pomocná kružnica sú rovnoľahlé (podobné), obidve majú stred na osi a dotýkajú sa ramien uhla.
Pomocou rovnoľahlosti, ktorá bodu $\small F$ priradí bod $\small K$ zostrojíme hľadanú kružnicu. Riešenie Tu.


4. Sústava dvoch rovníc.
   Grafickou metódou v programe GeoGebra vyriešte sústavu dvoch rovníc: lineárnej a kvadratickej.
   .
   Otvorte si zadanie Tu a otvorte si postup konštrukcie (jednotlivé konštrukčné kroky) Tu     Riešenie Tu.


5. Vytvorte konštrukciu, v ktorej po aktivácii začiarkavacích políčok sa budú zobrazovať grafy funkcií sin, cos, ...
   Zároveň zostrojte dynamický bod, ktorý sa bude pohybovať po grafe týchto funkcií. Pozrite si ukážku Tu →