Goniometrické funkcie

1. Už cca okolo roku 1900 pred n. l. starí babylonskí astronómovia zaznamenávali polohu a pohyby hviezd, pričom používali základy sférickej trigonometrie.
2. Staroveký Babylončania - delenie plného uhla na 360 rovnakých dielov. Oblúková miera - 1 radián (Thomson v roku 1871) je stredový uhol, ktorý prislúcha oblúku s rovnakou dĺžkou, ako je polomer kružnice. 
3. Názov goniometria  pochádza z gréčtiny: gónia - uhol, roh a metron - merať) - oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá goniometrickými funkciami
4. Staroveké Grécko (Thales a výška pyramídy, slnečné hodiny - tieň tyče a funkcia kotangens - pomer dĺžky stĺpa a dĺžky tieňa).
5. Názov „trigonometria“ pochádza z gréčtiny a znamená „merať trojuholník“. 
6. Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly.
7. Astronóm Hipparchos (pochádzal z Nikaie v Bitýnii, obdobie asi 190 – 120 pred n. l.) a Klaudios Ptolemaios (asi 85 – 165 n. l.)
Pre trojuholník vpísaný do kruhu je každá strana tetivou kružnice. K výpočtu prvkov trojuholníka stačí určiť dĺžku tetivy pomocou stredového uhla, čo je dvojnásobný sínus polovice stredového uhla.


Hipparchos zostavil tabuľky tetív (sínusov) pre rôzne stredové uhly kružnice pri stálom polomere. Napísal dvanásť kníh k tejto problematike. Písomné doklady pochádzajú od Ptolemaios v knihe Almagest.^[1]

                  _________________________________________________________________________________________
[1] Smýkalová, R. : Goniometrické funkce v elementární matematice. (Czech). Brno, 2016. Dostupné na: https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/404316

Arabskí učenci zaviedli pojem sínus ako vzťah medzi polovicou uhla a polovicou tetivy. Arddhadžíva (džíva) - dĺžka polovice tetivy. Arabský preklad: džiba $\rightarrow$ džaib (prsia, výstrih, vypuklosť). V 12. storočí preklad do latinčiny: sinus.
V 6. storočí Varahamihira vo svojej práci použil vzorec pre súčet kvadrátov sin a cos. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v uzavretom intervale .
Analytický pohľad na goniometrické funkcie vytvoril Leonhard Euler roku 1748 v spise Introductio in analysin infinitorum ^[2], kde tieto funkcie definoval pomocou nekonečných radov. Používal zápisy: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec.
_________________________________________________________________________________________
[2] INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM. Translated and annotated by. Ian Bruce Dostupné na: http://www.17centurymaths.com/contents/introductiontoanalysisvol1.htm  resp. Tu

Súčet veľkostí uhlov $\alpha+ \beta+ \gamma$ v pravouhlom trojuholníku je rovný $180^ \circ$ a zároveň $\gamma=90^ \circ$.
Odkiaľ dostávame, že $\alpha + \beta = 90^ \circ$. Preto uhly $\alpha$ a $\beta$ sú ostré.

Existuje nekonečne veľa pravouhlých trojuholníkov s uhlom $\alpha$ a všetky sú navzájom podobné (podľa vety $uu$ ). Platí:

• pomer dĺžok dvoch strán pravouhlého trojuholníka je číslo, ktoré závisí iba od veľkosti uhla $\alpha$;
• pre každý pravouhlý trojuholník s uhlom $\alpha$ je tento pomer/číslo rovnaký;
• ostrému uhlu $\alpha$ v pravouhlom trojuholníku vieme priradiť číslo, ktoré je rovné pomeru dĺžok dvoch strán tohto trojuholníka.

Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky protiľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
      applet        

sin $( \alpha ) =$ sin $\alpha = \frac{a}{c}$ cos $( \alpha ) =$ cos$\alpha = \frac{b}{c}$

Tangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok protiľahlej a priľahlej odvesny ostrého uhla:
tg $( \alpha ) =$ tg $\alpha = \frac{a}{b}$
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok priľahlej a protiľahlej odvesny ostrého uhla:
cotg $( \alpha ) =$ cotg $\alpha = \frac{b}{a}$

Kosínus je pomer priľahlej odvesny k prepone. Priľahlá k uhlu $\beta$ je odvesna $a$. Preto bude
cos $\beta = \frac{a}{c}$
využijúc vzťah  $\beta=$90$^ \circ- \alpha$ dostaneme
sin $\alpha = \frac{a}{c} =$ cos $\beta =$ cos (90$^\circ- \alpha )$.    
Vzťahy medzi sin a cos resp. tg a cotg
sin($\alpha$) = cos(90$^\circ- \alpha$); cos($\alpha$) = sin(90$^\circ- \alpha$)
tg($\alpha$) = cotg(90$^\circ- \alpha$); cotg($\alpha$) = tg(90$^\circ- \alpha$)

Riešte nasledujúce úlohy

1. Zostrojte pravouhlý trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ tak, aby platilo $c=6$ a sin$\alpha = 3/4$. .
2. Zostrojte pravouhlý trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ tak, aby platilo $c=2$ a $a=1$. Zostrojte obraz $B'$ bodu $B$ v osovej súmernosti $\sigma_{AC}$. Zostrojte štvorec $ADEF$ tak, aby body $B,B'$ ležali na stranách $DE, EF$. Riešenie Tu
3. Využitím rovnostranného trojuholníka vypočítajte sin(30°), cos(30°), tg(30°), cotg(30°).
4. V pravouhlom trojuholníku $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C$ je dané $a=20 , \beta= 34^ \circ$. Vypočítajte $b$ a $v_c$.
5. Je daná kružnica $k(S; r )$, kde $r = 3$, a bod $M$ s $\left| \begin{matrix} MS \end{matrix} \right| =7$. Vypočítajte veľkosť uhla, ktorý zvierajú dotyčnice z bodu $M$ ku kružnici $k$.

Riešenie úlohy 3
Nech rovnostranný trojuholník $KLM$ má stranu $KM =1$. Výšku trojuholníka vypočítame pomocou Pytagorovej vety.    
             
Využitím pravouhlého rovnoramenného trojuholníka vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií pre uhol $\xi = 45^ \circ$.

Jednotková kružnica
Kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy, ktorá má polomer $r=1$. Pre naše úvahy bude dôležitý jej priesečník $J=[1, 0]$ s kladnou polosou $x$.

Definujeme zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu $x$ priradí na jednotkovej kružnici práve jeden bod $M$.

1. Reálnemu číslu $0$ priradíme bod $J$.
2. Ak $x > 0$, tak číslu $x$ priradíme taký bod M jednotkovej kružnice, že dĺžka oblúka $JM$ v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) je práve $x$.
3. Ak $x < 0$, tak číslu $x$  priradíme taký bod M jednotkovej kružnice, že dĺžka oblúka $JM$ v zápornom zmysle je práve $|x|$.

1. Takto definované zobrazenie $R \rightarrow k$ nie je injektívne (dvom rôznym reálnym číslam môže byť priradený ten istý bod).
2. Zobrazenie je však surjektívne (každý bod jednotkovej kružnice je priradený nejakému reálnemu číslu).

Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu - vlastnosti

Ukážeme, že zobrazenie nie je injektívne. Dvom rôznym reálnym číslam môžeme priradiť ten istý bod.

1. Skúmajme, do ktorého bodu jednotkovej kružnice sa zobrazí číslo $\frac{ \pi}{2}$.
   
2. Obvod jednotkovej kružnice je rovný číslu $2\pi$.
3. Dĺžka oblúka $JM$ predstavuje $\frac{1}{4}$ štvrtinu dĺžky celej kružnice (bod $J=(1,0)$ ).
4. Číslo $\frac{ \pi}{2}$ je $\frac{1}{4} 2\pi$, čo predstavuje štvrtinu celého obvodu kružnice
5. Preto sa číslo $\frac{ \pi}{2}$ zobrazí do bodu $M$ .
6. Uvažujme o čísle $\frac{5 }{2} \pi = 2\pi+\frac{ \pi}{2}$, čo predstavuje jeden a štvrť obvodu kružnice.
7. Preto sa aj číslo $\frac{5 }{2} \pi$ zobrazí do bodu $M = (0,1)$. Celá kružnica plus jedna jej štvrtina.

Zovšeobecnením tohto procesu zistíme, že všetky čísla tvaru $2k\pi+\frac{ \pi}{2}$ sa zobrazia do bodu $M = (0,1)$ pre $k \in R$. Zobrazenie nie je injektívne.
Ku každému bodu kružnice v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) existuje kladné reálne číslo, ktoré je rovné dĺžke oblúka $JM$. Zobrazenie je surjektívne.

Záver
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu je surjektívne ale nie je injektívne.

Riešte nasledujúce úlohy

1. Ktorý bod bude priradený číslu $x= \frac{ \pi}{2}$?
2. Určte všetky reálne čísla, ktorým je na jednotkovej kružnici priradený bod $M$ podľa obrázka. Bod $M$ leží na osi II. kvadrantu.
   
3. Ktoré body jednotkovej kružnice sú priradené číslam $x = ( \frac{2 \pi }{5} - \frac{k \pi }{4})$, kde $k \in R$?
4. Určte všetky reálne čísla $a$, ktorým je priradený rovnaký bod jednotkovej kružnice ako číslu $\frac{2 \pi }{3}$ a ($\frac{ \pi}{4}- \frac{a \pi }{5}$).

Riešenie úlohy č. 1

• dĺžka jednotkovej kružnice je $2\pi r=2 \pi . 1 = 2\pi$
• číslo $\frac{ \pi}{2}$ je teda štvrtinou dĺžky kružnice, ak meriame v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek)
• teda číslu $x= \frac{ \pi}{2}$ bude priradený bod $M= (0, 1)$.

• číslo $x= \frac{ \pi}{2}$ navyše vyjadruje veľkosť uhla $JSM , J =(1,0)$ v radiánoch.

Prevod stupňov na radiány
$r = s \cdot \frac{2 \pi }{360}$,
kde $r$ je veľkosť uhla v radiánoch a $s$ je veľkosť uhla v stupňoch
Prevod radiánov na stupne
$s = r \cdot \frac{360 }{2 \pi}$sr

Úlohy

1. Koľko radiánov je 135°?
2. Koľko stupňov je $\frac{5 }{3} \pi$?

Definície funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice zodpovedá definícii pre ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku.

V pravouhlom trojuholníku $SM_xM$ s ostrým uhlom $\alpha$ má protiľahlá odvesna veľkosť $|MM_x|$, čo predstavuje - $y$-ovú súradnicu bodu $M$. Prepona má veľkosť $|SM| = 1$. Potom
sin$(x) = y(M)$.

1. Keďže nekonečnému počtu reálnych čísel v tvare $x = x_0 + 2k \pi$ vždy priradíme ten istý bod na jednotkovej kružnici, budú sa hodnoty funkcií sin a cos, ktoré sú určené súradnicami tohto bodu, pravidelne opakovať.
2. To znamená, že dané funkcie sú periodické a ich najmenšia perióda je dĺžka jednotkovej kružnice, t.j.  $2 \pi$.

Symetria sin a cos
sin(π + x) = − sin(x), cos(π + x) = − cos(x)
sin(2π − x) = − sin(x), cos(2π − x) = cos(x)

Dôležité hodnoty pre    0°   30°    45°    60°   90°
sin(x) $\;  \;  0 \;\; \;\frac{1}{2} \;\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2} \;\;\; 1$
cos(x) $\;   1 \;\; \; \frac{ \sqrt {3}}{2}\; \;\; \frac{ \sqrt {2}}{2} \;\; \;\frac{1}{2} \; \; \;\;0$

Súčtové vzorce pre sínus a kosínus

Stiahnite si applet od M. Vinkléra Tu

Cvičenie

Poznámky

1. ...
2. ...