GeoGebra vo vyučovaní geometrie
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | GeoGebra vo vyučovaní geometrie |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:22 |
Popis
Dynamický matematický program GeoGebra, ktorý spája geometriu, algebru a kalkulátor do jedného celku.
Názov GeoGebra vznikol spojením Geometria – Algebra, z čoho vyplýva aj charakter tohto softvéru.
Program je vhodný na rysovanie základných geometrických útvarov ale aj na algebraické výpočty. Program si stiahnite zo stránky https://www.geogebra.org/download 1).
Program je vhodný na rysovanie základných geometrických útvarov ale aj na algebraické výpočty. Program si stiahnite zo stránky https://www.geogebra.org/download 1).
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/349432/mod_book/chapter/6450/Sn%C3%ADmka%20.png?time=1621321870891)
Na prebudenie záujmu žiakov o program GeoGebra odporúčame učiteľovi najskôr predviesť žiakom ukážky (applety), v ktorých sa významne prejaví dynamika programu. Napríklad pre žiakov ZŠ vlastnosť ortocentra (priesečníka výšok) v obecnom trojuholníku a pre žiakov SŠ rez na kocke. Pozrite si odkaz na takéto applety:
Ak chceme využívať softvér GeoGebra vo vyučovaní matematiky, tak prvým krokom učiteľa je naučiť žiakov postupnými krokmi pracovať s týmto softvérom. To predstavuje predovšetkým:
- Začať s rysovaním základných geometrických útvarov len s použitím troch nástrojov Bod, Priamka a Kružnica
.
- Zdôrazniť význam a používanie nástroja Pohyb - po jeho aktivácii kurzor presunieme k objektu, potom stlačíme ľavé tlačidlo myši a objekt môžeme premiestňovať
- Vedieť meniť farbu, veľkosť, hrúbku, priehľadnosť a štýly zostrojených útvarov - buď aktivujeme nástroj Pohyb, kurzor presunieme k útvaru, stlačíme pravé tlačidlo myši a vyberieme Vlastnosti alebo vo formátovacom paneli v hornej lište nákresne
nastavíme požadované parametre. - Postupne žiakov oboznamujeme s ďalšími nástrojmi, pomocou ktorých narysujme - stred úsečky, kolmicu, mnohouholník, uhol, ...
Pri prvých pokusoch práce s programom GeoGebra je z didaktického hľadiska vhodné začať pracovať v prednastavenom výkrese,
v ktorom budú k dispozícii len základné nástroje: bod + priesečník; priamka + úsečka; kružnica určená stredom a polomerom +
kružnica určená stredom a jej bodom.
Precvičte si
Otvorte si prednastavený výkres Tu a
Otvorte si prednastavený výkres Tu a
Poznámky
- Po otvorení prednastaveného výkresu sa objaví čistý výkres, v ktorom sú zobrazené
- v záhlaví karty pre prácu so súborom - základné Menu
- nástroje/ikonky pre narysovanie geometrických útvarov bod, priamka, kružnica.
- Bod je znázornený ako "krúžok" ale môže byť znázornený pomocou iných symbolov, napríklad sa používajú symboly
.
- V prípade, že chcete zobraziť len oblúčiky pri priesečníkoch dvoch kružníc (resp. kružnice a priamky; dvoch priamok) stačí aktivovať "Vlastnosti" pre daný priesečník a začiarknuť.
___________________________________________________________
1) Pozrite si stránku "Návody k aplikaci GeoGebra Classic" resp. Manuál
2) Robová, J.: Informační technologie pro učitele, 2019/2020. Dostupné Tu
1) Pozrite si stránku "Návody k aplikaci GeoGebra Classic" resp. Manuál
2) Robová, J.: Informační technologie pro učitele, 2019/2020. Dostupné Tu
Prvý výkres
V priloženom applete si najskôr vyskúšajte meniť veľkosti strán
(hodnoty posuvníkov).
Za akých podmienok priesečník
existuje?
![\small a, b, c \small a, b, c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e565caee902d82d898086bd4f8c4e999.png)
Za akých podmienok priesečník
![\small C \small C](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5f1080ea0a11a846e6f8c83e0540467d.png)
Komentár k riešeniu
- Otvorte si prednastavený pracovný výkres Tu a vytvorte si vlastný výkres.
- Postupujte podľa nasledujúcich krokov:
- zostrojte bod
pomocou nástroja "Bod";
- zostrojte úsečku
s danou dĺžkou
pomocou nástroja "Úsečka s danou dĺžkou";
- zostrojte kružnice
a ich priesečník
.
Práca s programom
Základným didaktickým poslaním programu GeoGebra vo vyučovaní geometrie pri rysovaní rovinných útvarov je
- zjednodušenie manipulačnej činnosti
- dosiahnutie vyššej presnosti
- umožnenie dynamickosti a interaktívnosti narysovaných útvarov
- ceruzku resp. špeciálne rysovacie pero
- pravítko
- kružidlo
Euklidovská konštrukcia sa nazýva grafická konštrukcia v rovine, ktorú je možné realizovať
- ideálnym pravítkom (bez rysky a bez meradla) a ideálnym kružidlom
- konečným počtom krokov
- každý krok je elementárna konštrukcia buď na zostrojenie
- priamky prechádzajúcej dvoma danými rôznymi bodmi; alebo
- kružnice so stredom v danom bode a s daným polomerom; alebo
- priesečníka dvoch rôznobežných priamok (resp. prieniku priamky a kružnice alebo prieniku dvoch kružníc).
Elementárne euklidovské konštrukcie
- Zostrojenie rovnostranného trojuholníka. Euklidovo tvrdenie, Kniha 1,T/I.
- "Prenesenie" danej úsečky na danú polpriamku. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/II a T/III.
- Zostrojenie osi daného uhla. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/IX.
- Zostrojenie stredu danej úsečky, osi úsečky. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/X.
- Zostrojenie kolmice na danú priamku. Euklidovo tvrdenie Kniha 1,T/XI a T/XII.
- "Prenesenie" daného uhla na danú polpriamku v danej polrovine. Tieto úlohy budeme postupne riešiť pomocou programu GeoGebra.
Prenesenie úsečky na polpriamku
Euklidove Základy: Kniha 1, Tvrdenie II
"Umiestniť priamku (úsečku) rovnajúcu sa danej priamke (úsečke)
s jedným koncom v danom bode
."
"Umiestniť priamku (úsečku) rovnajúcu sa danej priamke (úsečke)
![\small BC \small BC](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3c1796a1e7248ad96d2360d12003ab09.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
Otvorte si prednastavený výkres
Tu a postupujte podľa nižšie uvedených pokynov
- Zostrojte rovnostranný trojuholník
. Tvrdenie 1/I
- Vytvorte polpriamky
. Postulát 2
- Opíšte kružnicu
a zostrojte priesečník
. Postulát 3
- Opíšte kružnicu
a zostrojte priesečník
. Postulát 3
- Keďže bod
je stredom
, preto sa
rovná
. Definícia 15
- Keďže bod
je stredom
, preto sa
rovná
. Definícia 15
- Preto sa rozdiel
rovná rozdielu
. Zásada 3
Poznámky .
Os úsečky
Os úsečky
Pri zostrojovaní osi úsečky budeme vychádzať z konštrukcie osi uhla, ktorá v Euklidových Základoch predstavuje Tvrdenie IX v Knihe 1.
V konštrukcii osi uhla sa využívajú tri kružnice určené stredom a polomerom (Postulát 3) a veta o zhodnosti trojuholníkov
, ktorá je Základoch uvedená ako Tvrdenie VIII. Vytvorte applet v programe GeoGebra, ktorý bude interpretovať toto tvrdenie.
Os úsečky zostrojíme ako dôsledok konštrukcie osi uhla:
Pri zostrojovaní osi úsečky budeme vychádzať z konštrukcie osi uhla, ktorá v Euklidových Základoch predstavuje Tvrdenie IX v Knihe 1.
V konštrukcii osi uhla sa využívajú tri kružnice určené stredom a polomerom (Postulát 3) a veta o zhodnosti trojuholníkov
![sss sss](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0c111c91c83de76aee93d04489709823.png)
Os úsečky zostrojíme ako dôsledok konštrukcie osi uhla:
Seminár - príklady
- Príklad1) (ťažisko, vzťah medzi dvoma objektmi)
-
Príklad (osi uhlov, kružnica vpísaná, popis objektu gréckymi písmenami)
- Zostrojte všeobecný trojuholník
.
- Zostrojte osi uhlov pomocou nástroja "Os uhla". Všimnite si dve možnosti zadania objektov pre tento nástroj – dve priamky, tri body.
- Osi zobrazte čiarkovane pomocou karty "Vlastnosti".
- Zostrojte priesečník
dvoch osí.
- Vyznačte úsečkou polomer kružnice vpísanej a zostrojte ju. Pohybom jedného vrcholu overte správnosť konštrukcie.
- Pomocou kontextového menu (príkaz Premenovať) pre úsečku-polomer kružnice ju premenujte na
(grécke písmená sú v zobrazenej karte vpravo).
- Zostrojte všeobecný trojuholník
- Pre príklady 1 a 2 použite prednastavený výkres Tu.
- Konštrukcia trojuholníka je možná:
- s využitím bodov a úsečiek (tri nekolineárne body spojené úsečkami) alebo
- pomocou nástroja Mnohouholník, resp. Pravidelný mnohouholník.
-
Príklad (os úsečky ako geometrické miesto bodov), otvorte si Zadanie
Tu.
- Narysujte úsečku
a posuvník
, ktorého rozsah hodnôt bude od 0 do 15.
- Teraz zostrojte nástrojom "Kružnica daná stredom a polomerom" kružnice so stredmi v
a rovnakými polomermi
.
- Zostrojte priesečníky
oboch kružníc a zapnite ich stopu.
- Pohybujte posuvníkom
a pozorujte, čo sa deje.
- Akú množinu bodov tvoria stopy bodov
?
- Narysujte úsečku
Poznámky.
Cvičenie
Zdokonaľujte sa v práci s GeoGebrou
Zostrojte rovnoramenný lichobežník
, ak poznáte dĺžky základní
a veľkosť vnútorného uhla
.
[Pozri →]
Popis konštrukcie:
Kolmica na priamku
Je daný bod
a priamka
. Použitím len pravítka (bez rysky) a kružidla zostrojte kolmicu prechádzajúcu daným bodom
na danú priamku
, ak:
Úloha
Pomocou Geogebry určite množinu všetkých ťažísk všetkých pravouhlých trojuholníkov so spoločnou preponou
.
Dynamický bod.
Preštudujte si výklad k začiarkavaciemu políčku Tu.
..
Úloha
Vytvorte konštrukciu, v ktorej po aktivácii začiarkavacích políčok sa budú zobrazovať grafy funkcií tangens, kotangens. Zostrojte dynamický bod, ktorý sa bude pohybovať po grafe týchto funkcií.
Zostrojte rovnoramenný lichobežník
![ABCD ABCD](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e1ea6a815485d05f1c11d65a89209fae.png)
![a, c a, c](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/422a7a1c6713ca239ee621688a5da203.png)
![\alpha \alpha](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a86a9f423465d727dd59fa89ba9cb8a5.png)
Je daný bod
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![p=KL p=KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/abf04b2713d3c09c5b2eadf5bd3e17e5.png)
![A A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/951196ca354c5c72b8356494f97c3b5d.png)
![p=KL p=KL](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/abf04b2713d3c09c5b2eadf5bd3e17e5.png)
- bod
leží na priamke
- bod
neleží na priamke
.
Vychádzajte z Euklidovho tvrdenia Kniha 1,T/XI a T/XII. Použite prednastavený výkres Tu.
- Vytvorte rys na demonštráciu osi uhla pomocou množiny bodov.
- Padajúci rebrík - rebrík opretý o stenu, ak stojí na hladkej podlahe sa veľmi ľahko skĺzne
dole a spadne.
Po akej krivke sa pri tomto páde bude pohybovať mačka sediaca uprostred rebríka a akú trajektóriu vytvorí, ak nebude v strede. ..
Úloha
Pomocou Geogebry určite množinu všetkých ťažísk všetkých pravouhlých trojuholníkov so spoločnou preponou
![\small AB \small AB](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/70dcdb2c7b6f8c1847050898533f39e8.png)
Dynamický bod.
Preštudujte si výklad k začiarkavaciemu políčku Tu.
Úloha
Vytvorte konštrukciu, v ktorej po aktivácii začiarkavacích políčok sa budú zobrazovať grafy funkcií tangens, kotangens. Zostrojte dynamický bod, ktorý sa bude pohybovať po grafe týchto funkcií.