Základná veta aritmetiky

Prvé predstavy o čísle pochádzajú už z dávneho obdobia staršej doby kamennej, paleolitu. Sú nerozlučne spojené s obdobím, keď na začiatku štvrtohôr začína človek získavať pomocou nástrojov prostriedky k obžive.
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.

Vestonická vrubovka

Egypťania a Babylončania používali všetky základné aritmetické operácie už v roku 2000 pred Kristom. Hieroglyfický systém pre egyptské číslice vychádzal zo sčítacích značiek používaných na počítanie. Tento pôvod viedol k hodnotám, ktoré používali desatinný základ, ale nezahŕňali pozičný zápis.  Babylončania používali šesťdesiatkový systém.

 číselná sústava - Egypt    číselná sústava - Babylon

                                                                                                                                                                

Komplexné výpočty s rímskymi číslicami si na získanie výsledkov vyžadovali pomoc počítacej dosky (alebo rímskeho počítadla). Skoré číselné systémy, ktoré obsahovali pozičný zápis, neboli desiatkové, vrátane šesťdesiatkového (základ 60) systému pre babylonské číslice a vigezimálneho (základ 20) systému, ktorý definoval mayské číslice. Vďaka tomuto konceptu hodnoty miesta prispela možnosť opätovného použitia rovnakých číslic pre rôzne hodnoty k jednoduchším a efektívnejším metódam výpočtu.

rímske čislicerímske počítadlo - abakus

...

Nepretržitý vývoj modernej aritmetiky nastal s érou Gréckej civilizácie. Euklides zhromaždil všetky znalosti tej doby z matematiky a napísal knihu Základy. Jeho práca obsahuje nielen geometriu, ale sú tu zhrnuté všetky výsledky bádania v oblasti matematiky.

  

Na vznik matematických pojmov a operácií s nimi, pôsobili praktické podnety (obchod, peňažníctvo, zememeračstvo, moreplavby, astronómia...). Starovekým Grékom až do helenistického obdobia chýbal symbol pre nulu a ako číslice používali tri samostatné sady symbolov: jednu pre jednotky, jednu pre desiatky a jednu pre stovky. Pre tisícky by znovu použili symboly pre umiestnenie jednotiek atď. Algoritmus pre sčítanie, odčítanie a delenie bol rovnaký ako dnešný, len algoritmus násobenia sa mierne líšil.

Starovekí Číňania mali pokročilé aritmetické štúdie od základných čísel po pokročilú algebru, ktoré sa datujú od dynastie Shang. Používali pozičnú sústavu podobnú gréckej. Taktiež nepoznali symbol pre nulu. Ich symboly boli založené na starovekých prútoch. Boli prví, ktorí pochopili a začali používať záporné čísla.

V stredoveku bola aritmetika zaradená medzi sedem slobodných umení. Na základe praktického používania aritmetiky, mali význam približné výpočty iracionálnych čísel, ktoré boli nevyhnutné pre geometrické konštrukcie.
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."

 Leonardo Pisánsky           ukážka z knihy Liber Abaci

Rozkvet algebry v stredovekom islamskom svete a tiež v renesančnej Európe bol výsledkom obrovského zjednodušenia výpočtov prostredníctvom desatinného zápisu.

Na začiatku 17. storočia vynašiel John Napier logaritmy a Fermat potom oddelil teóriu čísel do nezávislej vetvy aritmetiky. Pre numerické výpočty boli vynájdené a široko používané rôzne typy nástrojov - mechanické kalkulačky.
K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky.

Ak $a,b$ sú prirodzené čísla, tak číslo $a$ je násobok čísla $b$ a číslo $b$ je deliteľ čísla $a$ práve vtedy, ak existuje také prirodzené číslo $k$, že platí:

$a=k \cdot b$.

Napr. číslo $27$ je deliteľné tromi, lebo $27 = 9 · 3$. Alternatívne je $p$ deliteľné $q$, ak zvyšok po delení $p/q$ je nula.

Súdeliteľné čísla sú čísla, ktoré majú okrem čísla $1$ aspoň jedného ďalšieho spoločného deliteľa.
Napríklad: Čísla $12$ a $20$ sú súdeliteľné, lebo majú deliteľov $1, 2, 4$.

Nesúdeliteľné čísla sú čísla, ktoré nemajú okrem čísla $1$ žiadneho spoločného deliteľa.
Napríklad: Čísla $5$ a $7$ sú nesúdeliteľné, lebo majú len jedného spoločného deliteľa - $1$.

Prvočíslo je každé prirodzené číslo, ktoré má práve dva delitele, číslo $1$ a samé seba.
Ukážka prvočísel medzi $1-100$:  $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97$.

Zložené číslo je každé prirodzené číslo, ktoré má aspoň tri rôzne delitele.
Vyjadrenie zloženého čísla súčinom jeho deliteľov väčších ako 1 nazývame rozklad zloženého čísla.
To isté číslo môže mať rôzne rozklady.
Napríklad: $24=2 \cdot12=3 \cdot8=4 \cdot6= 2 \cdot3 \cdot4$

Veta: Každé zložené číslo $n$ je deliteľné aspoň jedným prvočíslom $p$, pre ktoré platí $p \leq \sqrt{n}$.
Ak zistíme, že číslo $n$ nie je deliteľné nijakým prvočíslom $p$, pre ktoré platí $p \leq \sqrt{n}$, tak $n$ je prvočíslo.

Prvočíselný rozklad zloženého čísla je zápis zloženého čísla v tvare súčinu, ktorého každý činiteľ je prvočíslo a sú zoradené vzostupne.

Uveďme si niektoré spôsoby, ktorými zaznamenávame postup na prvočíselný rozklad.

Takto má každé prirodzené číslo jediný zápis. Hovorí o tom základná veta aritmetiky.

Každé prirodzené číslo $n>1$ sa dá napísať jediným spôsobom v tvare $n = p_1^{ r_1} \cdot p_2 ^{r_2} \cdot ... \cdot p_k^{ r_k}$ , kde $p_1 < p_2 < ... < p_k$ sú prvočísla a $r_1, r_2, ... , r_k$ sú prirodzené čísla.

Pre ľubovoľné prirodzené čísla $a,b,c$ platí:

1.  $1|a,  a|a,  a|0$,
2.  ak $b|a$, $a \neq0$, tak $b < a$,
3.  ak $b|a$ ∧ $a|c$, tak $b|c$,
4.  $a|b$ ∧$b|a$ práve vtedy, keď $a=b$,
   
5. ak $a|b$ ∧ $a|c$, tak $a|(b+c)$,
6. ak $a|b$ ∧ $a|c$, $b \geq c$,tak $a|(b-c)$.

• $2$, ak je posledná číslica párna, alebo je na poslednom mieste číslica $0$
• $3$, ak je ciferný súčet deliteľný $3$
• $4$, ak je posledné dvojčíslie deliteľné $4$
• $5$, ak je na poslednom mieste $5$ alebo $0$
• $6$, ak je číslo deliteľné $2$ a súčasne aj $3$
• $7$, ak je siedmimi deliteľný súčet vypočítaný tak, že sa prvá až n-tá číslica odzadu vynásobí postupne číslami (periodicky sa opakujúcimi): $1, 3, 2, 6, 4, 5$
• $8$, ak je posledné trojčíslie deliteľné $8$
• $9$, ak je ciferný súčet deliteľný $9$
• $10$, ak je na poslednom mieste $0$
• $11$, ak je rozdiel súčtu číslic na nepárnom a párnom mieste deliteľný $11$

Príklad pre deliteľnosť $7$: Je $1456$ deliteľné $7$?
$6 \cdot 1+5 \cdot 3+4 \cdot 2+1 \cdot 6=35$ (číslo deliteľné $7$).
Príklad pre deliteľnosť $11$: Je číslo $2585$ deliteľné $11$?
$(2+8)-(5+5)=0$ (číslo deliteľné $11$).

1. Zisti, ktoré z čísel $135, 116, 532, 75, 201,$ alebo $700$, je deliteľné $3$ alebo $4$.
2. Zisti, ktoré z čísel $72, 54, 171, 240, 441$ alebo $582$, je deliteľné $6$ alebo $9$.
3. Ktorým číslom z prvej desiatky nie je deliteľné číslo $2520$? Využi na riešenie znaky deliteľnosti.
4. V zápise čísla $41*6$ nahraď hviezdičku takou číslicou, aby ste dostali číslo deliteľné: a) tromi, b) štyrmi, c) šiestimi, d) deviatimi.
5. Koľko je všetkých trojciferných čísel, ktoré sú vytvorené z cifier $0,2,5,7$ a sú deliteľné $9$, ak sa cifry môžu opakovať?

Každé prirodzené číslo, ktoré je deliteľom prirodzeného čísla $x$ aj prirodzeného čísla $y$, nazývame spoločným deliteľom čísel $x$ a $y$.

Najväčší spoločný deliteľ je najväčšie číslo zo všetkých spoločných deliteľov. Označujeme ho NSD.

Na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa môžeme použiť viacero metód.
Metódy:

1. Výpočet pomocou množín deliteľov
2. Výpočet pomocou prvočíselného rozkladu
3. Výpočet pomocou najmenšieho spoločného násobku
4. Výpočet pomocou Euklidovho algoritmu

Na nasledujúcom príklade si ukážeme výpočet pomocou každej metódy.
Zadanie: Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel $75$ a $252$.

Majme čísla $75$ a $252$ a priraďme im množiny $D(75), D(252)$ všetkých ich deliteľov. Zapíšeme tieto množiny vymenovaním prvkov aj ich prienikmi a znázorníme ich (obrázok).
$D(75)={1,3,5,15,25,75}$
$D(252)={1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,28,36,42,63,84,126,252}$
$D(75)∩D(252)={1,3}$

Pretože spoločné delitele čísel sú spoločné prvky množín ich deliteľov, najväčší spoločný deliteľ je najväčší prvok prieniku množín deliteľov. To platí pre dve i väčší počet čísel.
$NSD(75,252)=3$
Metóda využitie množiny deliteľov sa opiera o definíciu najväčšieho spoločného deliteľa. Táto metóda je však zdĺhavá a prácna. Hodí sa len pre malé prirodzené čísla.

Majme čísla $75,252$. Daným číslam priradíme ich prvočíselné rozklady (ľavý stĺpec), ktoré doplníme nultými mocninami ďalších prvočísel (pravý stĺpec). Budeme tak môcť porovnávať exponenty mocnín s rovnakými základmi.

$75=3 \cdot 5^2$                                                     $75=2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^0$

$252=2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$                                           $252=2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^0 \cdot 7^1$

Každý spoločný deliteľ daných čísel môže byť zapísaný mocninami tých istých prvočísel, exponent mocniny je vždy menší, alebo sa rovná tomu exponentu, ktorý je v zápisoch čísel.
Zapísali sme prvočíselné rozklady čísel $75,252$. Zostavíme z nich prvočíselný rozklad $NSD(75,252)$ tak, že pre každé prvočíslo vyberieme najmenší exponent.

$D(75,252)=2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^0 \cdot 7^0 =3$

Táto metóda je výhodná, ak poznáme, alebo vieme ľahko určiť prvočíselné rozklady daných čísel. Inak je aj táto metóda zdĺhavá.

Každé prirodzené číslo, ktoré je násobkom prirodzeného čísla $x$ aj prirodzeného čísla $y$ nazývame spoločným násobkom čísel $x$ a $y$.

Najmenší zo spoločných násobkov dvoch čísel sa nazýva najmenší spoločný násobok týchto čísel. Označujeme ho nsn.

Nech $a$ a $b$ sú celé čísla, $b > 0$. Potom existujú jediné celé čísla $q$ a $r$ s vlastnosťou 

$a=q.b+r, \,\,0 \leq r < b$

Opakovaným používaním algoritmu delenia môžeme vypočítať najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel.

Na výpočet $NSD(75,252)$ použijeme Euklidov algoritmus, pričom budeme postupovať podľa definície nasledovne.

$252=3 \cdot 75+27$
$75=2 \cdot 27+21$
$27=1 \cdot 21+6$
$21=3 \cdot 6+3$
$6=2 \cdot 3+0$

To znamená, že $NSD(75,252)=3.$

1. Obdĺžnik rozmermi $36  cm$ a $60 cm$ je potrebné obložiť čo najmenším počtom zhodných mozaikových štvorcov. Aká bude dĺžka strany jedného štvorca? Koľko štvorcov potrebujeme?
2. Sponzor daroval žiakom $1.A$ triedy $64$ plniacich pier, $81$ poznámkových blokov a $135$ ceruziek. Žiaci si dar rozdelili tak, že každý dostal rovnaký počet pier, blokov i ceruziek. Koľko žiakov bolo v triede, keď vieme, že ich bolo viac než $25$.
3. Na škole s rozšíreným vyučovaním športovej prípravy je $120$ atlétov, $48$ volejbalistov a $72$ hádzanárov. Je možné rozdeliť športovcov na skupiny tak, aby počet v každej skupine bol rovnaký a vyjadrený najväčším možným číslom?
4. Najväčší spoločný deliteľ čísel $a, b$ je $8$. Najmenší spoločný násobok čísel $a, b$ je $120$. Pritom ani $a$, ani $b$ nie sú deliteľom jeden druhého. Ktoré sú to čísla?