Základná veta aritmetiky
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | Základná veta aritmetiky |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | streda, 3 júla 2024, 11:19 |
1. Úvod
Aritmetika (z gréckeho slova arithmós - číslo) je odbor matematiky, ktorý študuje čísla, ich vzťahy a vlastnosti. Predmetom aritmetiky je pojem číslo (prirodzené, celé, racionálne, reálne a komplexné číslo) a jeho vlastnosti. Aritmetika sa zaoberá meraniami, operáciami s číslami. Aritmetika je najstaršia zo základných matematických vied, úzko súvisí s algebrou, geometriou a teóriou čísel.
Za základné aritmetické operácie považujeme: sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Aritmetika sa taktiež zaoberá počítaním s percentami, mocninami a odmocninami, exponenciálnymi a logaritmickými funkciami.
2. Dejiny
Archeologické vykopávky potvrdzujú, že človek vytvoril prvé aritmetické pojmy už v dobe kamennej. Za prvý dôkaz, že človek už vedel počítať sa považujú vrubovky.
číselná sústava - Egypt
číselná sústava - Babylon
rímske čislice
rímske počítadlo - abakus
...
Aritmetika sa vyvíjala v Indii a krajinách islamu, odkiaľ najnovšie úspechy tej doby v oblasti matematického myslenia prenikli do západnej Európy. Vyvinuli pozičný číselný zápis a zaviedli symbol pre nulu. V siedmom storočí zaviedol matematik Brahmaputra používanie nuly ako samostatného čísla a určil výsledky pre všetky operácie s nulou okrem výsledku delenia nulou. Bolo zavedených 9 arabských číslic, ktoré práve Leonardo Pisánsky rozšíril do celej Európy prostredníctvom svojej knihy Liber Abaci v roku 1202. Napísal: "metóda Indov prevyšuje akúkoľvek známu metódu výpočtov. Je to úžasná metóda, pomocou ktorej sú robené výpočty pomocou deviatich číslic a symbolu nula."
Leonardo Pisánsky
ukážka z knihy Liber Abaci
K axiometrickému vybudovaniu aritmetiky dochádza až v 19. storočí. Na Bolzanovom pojme množín, vybudoval Georg Cantor teóriu kardinálnych a ordinálnych čísel. Na začiatku 20. storočia Ernst Zermelo publikoval axiomatiku teórie množín, ktorá sa stala okrem iného aj základom pri výstavbe aritmetiky.
3. Základná veta aritmetiky
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png)
Napríklad: Čísla
![12 12](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c20ad4d76fe97759aa27a0c99bff6710.png)
![20 20](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/98f13708210194c475687be6106a3b84.png)
![1, 2, 4 1, 2, 4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9918dfabff0f6f86d53828527ee54e75.png)
Nesúdeliteľné čísla sú čísla, ktoré nemajú okrem čísla
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png)
Napríklad: Čísla
![5 5](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png)
![7 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png)
Vyjadrenie zloženého čísla súčinom jeho deliteľov väčších ako 1 nazývame rozklad zloženého čísla.
To isté číslo môže mať rôzne rozklady.
Napríklad:
![24=2 \cdot12=3 \cdot8=4 \cdot6= 2 \cdot3 \cdot4 24=2 \cdot12=3 \cdot8=4 \cdot6= 2 \cdot3 \cdot4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/833c92886fc399128ed4d09ab328704e.png)
Veta: Každé zložené číslo
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p \leq \sqrt{n} p \leq \sqrt{n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ff42770957b21501a8084b0cc489dc71.png)
Ak zistíme, že číslo
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p \leq \sqrt{n} p \leq \sqrt{n}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b204de488da1802a396339861370a64.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
Uveďme si niektoré spôsoby, ktorými zaznamenávame postup na prvočíselný rozklad.
4. Vlastnosti a kritériá deliteľnosti
, ak je posledná číslica párna, alebo je na poslednom mieste číslica
, ak je ciferný súčet deliteľný
, ak je posledné dvojčíslie deliteľné
, ak je na poslednom mieste
alebo
, ak je číslo deliteľné
a súčasne aj
, ak je siedmimi deliteľný súčet vypočítaný tak, že sa prvá až n-tá číslica odzadu vynásobí postupne číslami (periodicky sa opakujúcimi):
, ak je posledné trojčíslie deliteľné
, ak je ciferný súčet deliteľný
, ak je na poslednom mieste
, ak je rozdiel súčtu číslic na nepárnom a párnom mieste deliteľný
![7 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png)
![1456 1456](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5e76bef6e019b2541ff53db39f407a98.png)
![7 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png)
![6 \cdot 1+5 \cdot 3+4 \cdot 2+1 \cdot 6=35 6 \cdot 1+5 \cdot 3+4 \cdot 2+1 \cdot 6=35](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ed75f6738673e1567ecf17586b6086d0.png)
![7 7](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8f14e45fceea167a5a36dedd4bea2543.png)
Príklad pre deliteľnosť
![11 11](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6512bd43d9caa6e02c990b0a82652dca.png)
![2585 2585](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/745ae9907b6c0308f5b36f8094eb8512.png)
![11 11](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a22a7935fdf03dd76ef19816fe314d4.png)
![(2+8)-(5+5)=0 (2+8)-(5+5)=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4ac0c0b10e8cc686a654142af60d3f12.png)
![11 11](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6a22a7935fdf03dd76ef19816fe314d4.png)
4.1. Príklady
- Zisti, ktoré z čísel
alebo
, je deliteľné
alebo
.
- Zisti, ktoré z čísel
alebo
, je deliteľné
alebo
.
- Ktorým číslom z prvej desiatky nie je deliteľné číslo
? Využi na riešenie znaky deliteľnosti.
- V zápise čísla
nahraď hviezdičku takou číslicou, aby ste dostali číslo deliteľné: a) tromi, b) štyrmi, c) šiestimi, d) deviatimi.
- Koľko je všetkých trojciferných čísel, ktoré sú vytvorené z cifier
a sú deliteľné
, ak sa cifry môžu opakovať?
5. Najväčší spoločný deliteľ
Metódy:
- Výpočet pomocou množín deliteľov
- Výpočet pomocou prvočíselného rozkladu
- Výpočet pomocou najmenšieho spoločného násobku
- Výpočet pomocou Euklidovho algoritmu
Na nasledujúcom príklade si ukážeme výpočet pomocou každej metódy.
Zadanie: Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel
![75 75](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b466a31d1cfcb355188152981af5502b.png)
![252 252](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d1f71a98afeb915b37f0d5ad4bc8c1c8.png)
5.1. 1. Metóda - využitie množín deliteľov
![75 75](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b466a31d1cfcb355188152981af5502b.png)
![252 252](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/03c6b06952c750899bb03d998e631860.png)
![D(75), D(252) D(75), D(252)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/59c815ea2caa0f30c2bbf571b0a9ac01.png)
![D(75)={1,3,5,15,25,75} D(75)={1,3,5,15,25,75}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/17fc26cf6dde258423b29696ef0556cf.png)
![D(252)={1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,28,36,42,63,84,126,252} D(252)={1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,28,36,42,63,84,126,252}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e58b585b98f96b1dc0c4dc8d2b4a8e6f.png)
![D(75)∩D(252)={1,3} D(75)∩D(252)={1,3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d986764676a1ab9bddd22ad5af41d602.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/333566/mod_book/chapter/5905/diagram%20-.png)
Pretože spoločné delitele čísel sú spoločné prvky množín ich deliteľov, najväčší spoločný deliteľ je najväčší prvok prieniku množín deliteľov. To platí pre dve i väčší počet čísel.
![NSD(75,252)=3 NSD(75,252)=3](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/46726bf0ae338b97cbfc61d0dcc80051.png)
Metóda využitie množiny deliteľov sa opiera o definíciu najväčšieho spoločného deliteľa. Táto metóda je však zdĺhavá a prácna. Hodí sa len pre malé prirodzené čísla.
5.2. 2. Metóda - prvočíselný rozklad
![75,252 75,252](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/fc25127d5e7d43ee879dd1f61fcadc25.png)
Každý spoločný deliteľ daných čísel môže byť zapísaný mocninami tých istých prvočísel, exponent mocniny je vždy menší, alebo sa rovná tomu exponentu, ktorý je v zápisoch čísel.
Zapísali sme prvočíselné rozklady čísel
![75,252 75,252](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4901e687c8f783695f79b16ce182c217.png)
![NSD(75,252) NSD(75,252)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/34f453d623e09505da36dcf1f5dea299.png)
5.3. 3. Metóda - pomocou najmenšieho spoločného násobku
5.4. 4. Metóda - Euklidov algoritmus
5.5. Príklady
- Obdĺžnik rozmermi
a
je potrebné obložiť čo najmenším počtom zhodných mozaikových štvorcov. Aká bude dĺžka strany jedného štvorca? Koľko štvorcov potrebujeme?
- Sponzor daroval žiakom
triedy
plniacich pier,
poznámkových blokov a
ceruziek. Žiaci si dar rozdelili tak, že každý dostal rovnaký počet pier, blokov i ceruziek. Koľko žiakov bolo v triede, keď vieme, že ich bolo viac než
.
- Na škole s rozšíreným vyučovaním športovej prípravy je
atlétov,
volejbalistov a
hádzanárov. Je možné rozdeliť športovcov na skupiny tak, aby počet v každej skupine bol rovnaký a vyjadrený najväčším možným číslom?
- Najväčší spoločný deliteľ čísel
je
. Najmenší spoločný násobok čísel
je
. Pritom ani
, ani
nie sú deliteľom jeden druhého. Ktoré sú to čísla?