GeoGebra 3D

Trojrozmerný euklidovský priestor $\small E_3$ môžeme reprezentovať trojicou navzájom kolmých rovín $( \pi, \nu, \tau )$ a ľubovoľný bod $\small A ∈ \small E_3$ trojicou čísel $(x, y, z )$, ktoré nazývame súradnice bodu $\small A$. Na zobrazovanie bodov euklidovského priestoru využívame pravouhlý súradný systém - trojicu navzájom kolmých priamok $(x, y, z)$ so spoločným bodom $\small O$.

Poznámky
Bod $\small A$ so súradnicami $(\small 6, \small 7, \small 5)$ je zobrazený na applete v programe Geogebra3D. Polohu bodu $\small A$ môžete meniť dvoma spôsobmi:

1. ľavým dvojklikom na bod $\small A$ sa vám zobrazí okno, v ktorom zadáte nové súradnice bodu $\small A$
2. jedným kliknutím a podržaním ľavého tlačidla myši na bod $\small A$ a
• následným posúvaním myši bude sa bod $\small A$ pohybovať v rovine rovnobežnej s pôdorysňou $\pi$ a
• opätovným (druhým) kliknutím ľavého tlačidla a posúvaním myši bude sa bod $\small A$ pohybovať v rovine kolmej na pôdorysňu $\pi$.
3. Otvorte si prednastavený výkres a vytvorte konštrukciu, ktorá zobrazuje dynamický bod v priestore. Výkres otvoríte Tu. .

Cvičenie 1
Zostrojte 3D obraz rovnoramenného lichobežníka $\small ABCD$, ak sú dané súradnice $\small A(2,1,1), \small B(8,2,2), \small C(6,4.5,3)$.

1. Do vstupného poľa postupne zadajte $\small A(2,1,1), \small B(8,2,2), \small C(6,4.5,3)$. 
Ďalej zostrojte:
2. Priamku $\small AB$ a rovnobežku $r$ s priamkou $\small AB$ prechádzajúcu bodom $\small C$.
3. Stred $\small S_{AB}$ úsečky $\small AB$.
4. Rovinu $α$ kolmú na priamku $\small AB$ tak, aby platilo $\small S_{AB} ∈ α$.
5. Priesečník $\small S_{CD}$ roviny $α$ a rovnobežky $r$ s priamkou $\small AB$, ktorá prechádza bodom $\small C$.
6. Bod $\small D$ stredovo súmerný s bodom$\small C$ podľa $\small S_{CD}$.
7. Rovnoramenný lichobežník $\small ABCD$.
8. Pomocou kolmíc na priemetňu pi priemety $\small A_0,B_0,C_0,D_0$.
9. Vytvorte hranol spodstavou $\small A_0B_0C_0D_0$.
10. Otvorte si zadanie Tu. Pozri riešenie Tu.

Cvičenie 2
Zostrojte 3D obrazy telies znázornených na obrázku, ktoré sú zložené z kociek s rozmerom $a=1cm$

1. Určte súradnice vrcholov telies zobrazených v Úlohe 3, potom do vstupného poľa zadajte súradnice vrcholov.
2. Iná možnosť: vychádzajte z pôdorysu. Otvorte si prázdny výkres Tu.             .  .
3. Použite skladačku z kociek, ktorú si otvoríte Tu.
   
   Obrázok je prevzatý zo serveru O škole . Zapojte sa do aktivity Classroom - stavba z kociek Tu. a zadajte kód ZBYW C6A9.

Trojdimenzionálna verzia programu GeoGebra umožňuje zobrazovať priestorové útvary v euklidovskej rovine.

Ukážka je od autora Martina Vinklera - pozri Tu.
Zostrojte rez kocky $\small ABCDEFGH$ rovinou $\small KLM$, ak:$\small K∈\vec{FE}, L∈\vec{FB}, M∈\vec{DC}$. Zadanie →  .

GeoGebra umožňuje dynamickú interakciu dvojrozmerného grafického okna s trojrozmerným. 
V priloženom applete je štvorec $ABCD$ zobrazený v grafickom zobrazení 2D (Nákresňa ) a tiež v grafickom zobrazení 3D (Geometrický vzhľad 3D).

Cvičenie. Vytvorte 3D applet "Točité schodište" podľa priloženého pracovného listu. Použite vzor →
Postup konštrukcie Tu

Zvolíme si vzhľad: Nákresňa + Geometrický vzhľad 3D + Algebraické okno (Otvor si prednastavený výkres Tu.)

1. Narysujeme kocku v Nákresni a v Geometrickom vzhľade 3D.
2. Aktivujeme nástroj Sieť v Geometrickom vzhľade 3D a zobrazíme vo vzhľade Algebraické okno.
3. Klikneme postupne na hranol v algebraickom okne. 
4. Program nám narysuje sieť kocky, nakoniec upravíme hrúbku hrán a farbu siete. 
5. Program zároveň vygeneruje posuvník, pomocou ktorého sieť otvárame resp. zatvárame. 

Otvor applet TU

Zapojte sa do aktivity "Síť krychle" od Šárky Voráčové, TU
Preštudujte materiál "SIETE KOCKY – AKÉ A KOĽKO?" od autorov DUŠAN VALLO; ONDREJ ŠEDIVÝ. Materiál ja dostupný na internete TU.

Všetkých jedenásť sietí kocky si môžete dynamicky zobraziť pomocou appletu od autora Anthony OR. Viac o sieťach nájdete na https://geogebra.org/; do vyhľadávača na geogebre zadajte "network of cubes".
Applet od autora Anthony OR si otvor Tu.
Zaujímavá je napríklad aktivita "Nets of Cube", ktorá je dostupná TU.
Vytvorte k tejto téme PowerPoint prezentáciu vhodnú pre žiakov gymnázií.

Cvičenie
Zostrojte štvorboký hranol $ABCDEFGH$, ak je daná jeho výška $v$, a ktorého podstavou je rovnobežník $ABCD$. Výška je daná posuvníkom a pre vrcholy rovnobežníka $ABCD$ platí $A(2, 1, 0), B(6,2,1), C(7,5,3)$. Zadanie →
 .

Cvičenie
Zostrojte dynamický hranol podľa predlohy nasledujúceho appletu. Zadanie →
.

Úlohy riešte v Geometrickom vzhľade 3D, zápis konštrukcie urobte v Geometrickom okne 2

Cvičenie.

1. Zobrazte pravidelný šesťuholník $\small ABCDEF$ v grafickom zobrazení 2D ( Nákresňa) a tiež v grafickom zobrazení 3D, ak
   • stred šesťuholníka je v počiatku súradnej sústavy
     
   • polomer opísanej kružnice má veľkosť $r$.  Zadanie →
2. Zobrazte kocku ( \small ABCDEFGH \) s rozmerom $a$, ak
   • podstava $\small ABCD$ leží v priemetni $\pi$
   • stred podstavy je v počiatku súradnej sústavy
   • bod $\small A$ má súradnice $(-a/2, -a/2, ?)$. (Podobná je aj DÚ.) Zadanie. Popis konštrukcie.
3. Zobrazte pravidelný štvorsten $\small ABCD$ s hranou veľkosti $a$, ak
   • podstava $\small ABC$ leží v priemetni $\pi$
   • stred podstavy $\small S$ má súradnice $\small (0, 0 , 0)$
   • vyjadrite veľkosť hrany, výšky a súradnice vrcholov pomocou príkazu "IracionálnyText(...)", Zadanie →
4. DÚ. Je daný štvorsten $\small ABCD$ s parametrami z 3. úlohy. Vnútri hrany $\small AD$ zvoľte bod$\small M$ a vnútri hrany $\small DB$ bod $\small N$. Zobrazte priesečnicu rovín $\small ANC, \small MBC$ s povrchom telesa. Zadanie →
   (500 RUG, str: 415)
5. Je daný štvorsten $\small ABCD$: $\small A=(-4,-1,0),B=(2,-3,0)$. Bod $\small P$ leží na hrane $\small AD$, bod $\small M$ na polpriamke $\small \overrightarrow{BP}$ za bodom $\small P$, bod $\small N$ v podstave. Nájdite priesečníky priamky $\small \overleftrightarrow{MN}$ s povrchom telesa. Prázdny výkres →.
   (500 RUG, ú: 393)
6. Je daný štvorsten $\small ABCD$. Na úsečke $\small AD$ nájdite bod $\small M$ tak, aby $\small AM = \frac{1}{4} \small AD$ a na polpriamke $\small BC$ vyznačte bod $\small N$ tak, že $\small BN=3 \cdot \small BC$. Zobrazte takú priečku mimobežiek $\small AB, \small CD$, ktorá bude rovnobežná s priamkou $\small MN$.
   (500 RUG, ú: 385)