Euklidovský priestor
Rovnobežnosť útvarov
Definície - rovnobežnosť
- Priamky sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak alebo existuje rovina, v ktorej obe priamky ležia a nemajú žiaden spoločný bod.
- Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, ak priamka leží v rovine α alebo s ňou nemá žiaden spoločný bod.
- Dve roviny sú navzájom rovnobežné práve vtedy, ak: alebo α = β alebo tieto roviny nemajú žiaden spoločný bod.
Poznámky
- Dve priamky sú rovnobežné, alebo rôznobežné, alebo mimobežné.
- Priamka je s rovinou rovnobežná, alebo rôznobežná.
- Dve roviny sú rovnobežné, alebo rôznobežné.
Kritérium rovnobežnosti priamky a roviny
Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou roviny (). Symbolicky
.
Priamka je rovnobežná s rovinou práve vtedy, ak je rovnobežná s aspoň jednou priamkou roviny (). Symbolicky
.
Dôkaz
- pri dokazovaní využijeme dichotomický princíp vzhľadom na prienik priamky a roviny
- Nutná podmienka (dôkaz implikácie): . V zmysle definície rovnobežnosti priamky a roviny, môžu nastať dva prípady:
- .
- :
Nech je bod ľubovoľný bod. Keďže , tak existuje práve jedna rovina
a priesečnica
,
pričom bude . V opačnom prípade by existoval bod , ktorý by bol spoločným bodom priamky a roviny .
To je spor s predpokladom . Záver: .
Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka - . Môžu nastať dva prípady pre vzájomnú polohu priamok :
Dôkazy týchto tvrdení nájdete v práci Klenková: Stereometria. Na cvičení ich budete prezentovať.
Kritérium rovnobežnosti dvoch rovín
Dve roviny sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky , ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou . Symbolicky
.
Dve roviny sú rovnobežné práve vtedy, ak jedna z nich obsahuje dve rôznobežky , ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou . Symbolicky
.
Dôkaz
- Nutná podmienka - . Môžu nastať dva prípady:
- .
- : Potom existujú rôznobežky , pre ktoré platí
. Ak by tieto prieniky neboli prázdne množiny, tak by aj
, čo je spor s predpokladom.
. Otvorte si applet Tu
- postačujúca podmienka - . Teoreticky môžu nastať tri prípady:
- ak , tak z definície ;
- ak , tak z definície ;
- prípad nemôže nastať. Ak by nastal bol by v spore s existenciou
dvojíc priamok: . Dokážeme to nepriamo:
Nech existujú rôznobežky
s požadovanou vlastnosťou a nech roviny majú spoločnú priamku
: .
Táto priamka pretína aspoň jednu rôznobežku (môže byť rovnobežná najviac s jednou z nich). Nech je to priamka . Označme . To ale znamená, že bod by ležal v rovine a zároveň v rovine , lebo . To je spor s predpokladom , keďže .
... ...