Seminárne cvičenie

Cvičenie - Euklidovské konštrukcie
Popíšte nasledovné konštrukcie kružidlom a pravítkom bez rysky (náčrt, rozbor, postup konštrukcie).

1. Z daného bodu $A$ zostrojte úsečku $AD$, ktorá je zhodná s danou úsečkou $BC$. (Základy, Kniha 1, Tvrdenie T/II)
2. Dané sú dve úsečky $AB, CD$, pričom $AB >CD$. Zostrojte rozdiel úsečiek $AB-CD$. (Základy, Kniha 1, Tvrdenie T/III).
3. Zostrojte kolmicu z daného bodu na danú priamku, ak
   • bod leží na priamke
   • bod neleží na priamke.
   Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII. Použite prednastavený výkres Tu
4. Nájdite stred kružnice (pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Zadanie Tu.
5. (DU) Zostrojte dotyčnicu k danej kružnici z daného bodu ležiaceho zvonka kružnice. (Priamka je určená dvoma rôznymi na nej ležiacimi bodmi!)
   Návod: Využite Euklidove tvrdenia : Kniha III, T/XVII a T/XVIII.
6. Do daného trojuholníka vpíšte kružnicu. Ak si neviete poradiť, inšpirujte sa Euklidom, Kniha 4. Tvrdenie IV.
7. Danému trojuholníku opíšte kružnicu. Ak si neviete poradiť, inšpirujte sa Euklidom, Kniha 4. Tvrdenie V.
8. Dokážte, že v rovnobežníku sú
   • protiľahlé strany a uhly zhodné
   • uhlopriečka rozpoľuje daný rovnobežník.
   Pozrite si Euklidovo tvrdenie, Kniha 1. Tvrdenie XXXIV.
9. Riešte úlohy zo zbierky " Základné euklidovské konštrukcie" Tu. 

Seminárna práca - Euklidove tvrdenia
Naštudujte si Euklidove tvrdenie XXXII. Sformulujte do súčasnej modernej matematickej terminológie.

1. Zapíšte dôkaz vo formáte WORD s použitím editora rovníc. Prípadne urobte zápisy v programe TeX. Pozrite si niektoré návrhy Tu.
2. Vytvorte konštrukcie v programe GeoGebra, ktoré budú interpretovať toto Euklidovo tvrdenie a jeho dôkaz. 
3. Konštrukcie uložte na serveri https://www.geogebra.org/ do vášho vlastného konta.
4. Zápis dôkazu v PDF formáte vložte v GeoGebre pomocou "Pridať sekciu - PDF súbor".
Termín: 28.3.2024; Max bodov: 4

Definícia.
Nech $\small A \neq B$. Bod $\small S \in AB$ je stredom úsečky $\small AB$, ak $\small AS \cong BS$.

Cvičenia.

1. Dokážte, že
   1. Existuje práve jedna os uhla. Kniha I, Tvrdenie IX.
   2. Každá nenulová úsečka má práve jeden stred, a ten je jej vnútorným bodom. Kniha I, Tvrdenie X. Pozrite si os úsečky Tu
   3. Riešte úlohy (napr. č. 3, 11 a 12 ) zo zbierky " Základné euklidovské konštrukcie" Tu. Pokúste sa o riešenie aj ďalších úloh.
2. Nech v rovnoramennom trojuholníku $\small ABC$ platí, že uhol pri základni trojuholníka je dvojnásobkom uhla pri vrchole $\small C$. Overte, že dĺžka ramena a dĺžka základne sú v zlatom pomere. Pozrite Euklidove Základy Kniha II, Tvrdenie XI a otvorte applet Tu. Viac o zlatom pomere nájdete v prezentácii Tu.
3. Ukážte, že uhlopriečky obdĺžnika sú zhodné a že sa navzájom rozpoľujú. (Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať túto vlastnosť.)
4. Pomocou tvrdenia "Uhlopriečky obdĺžnika sú ..." ukážte:
   Ak je $\small ABC$ pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole $\small C$, potom všetky jeho vrcholy ležia na kružnici, ktorej priemerom je strana $\small AB$.
5. Ukážte, že platí:
   $\small\overrightarrow{AB} \cup \overrightarrow{BA} = \overleftrightarrow {AB}$.
   Uvedomte si, že pre polohu bodu $\small X$ vzhľadom na $\small A , B$ máme možnosti: $\small  \mu( XAB),X = A, \mu( AXB),X = B,\mu( ABX)$. 
6. Uveďte definíciu opačnej polroviny. (Pozrite si prácu: Monoszová, G.: Planimetria.)
7. Dané sú tri nekolineárne body $A,B,C$. Určte množinu (šrafovaním)
   1. $\lbrace{X;XC \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   2. $\lbrace{X;XC \cap \overleftarrow{AB} \neq ∅ }\rbrace$
   3. $\lbrace{X; \overleftrightarrow{XC} \cap \overrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
   4. $\lbrace{X; \overrightarrow{XC} \cap \overleftrightarrow{AB}=∅ }\rbrace$
      Použite applet, v ktorom je nástroj na vyznačenie polroviny. Stiahnite si Tu.

Poznámky

1. Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
2. (DU) Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka $\small ABC$ je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice $k$ a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.