Goniometrické funkcie
Portál: | Virtuálna Univerzita Mateja Bela |
Kurz: | Didaktika matematiky |
Kniha: | Goniometrické funkcie |
Vytlačil(a): | Hosťovský používateľ |
Dátum: | sobota, 4 mája 2024, 11:12 |
Historické poznámky
Stručný prierez vývojom
- Už cca okolo roku 1900 pred n. l. starí babylonskí astronómovia zaznamenávali polohu a pohyby hviezd, pričom používali základy sférickej trigonometrie.
- Staroveký Babylončania - delenie plného uhla na 360 rovnakých dielov. Oblúková miera - 1 radián (Thomson v roku 1871) je stredový uhol, ktorý prislúcha oblúku s rovnakou dĺžkou, ako je polomer kružnice.
- Názov goniometria pochádza z gréčtiny: gónia - uhol, roh a metron - merať) - oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá goniometrickými funkciami
- Staroveké Grécko (Thales a výška pyramídy, slnečné hodiny - tieň tyče a funkcia kotangens - pomer dĺžky stĺpa a dĺžky tieňa).
- Názov „trigonometria“ pochádza z gréčtiny a znamená „merať trojuholník“.
- Pojem goniometrické funkcie v preklade z gréčtiny znamená funkcie merajúce uhly.
- Astronóm Hipparchos (pochádzal z Nikaie v Bitýnii, obdobie asi 190 – 120 pred n. l.) a Klaudios Ptolemaios (asi 85 – 165 n. l.)
Pre trojuholník vpísaný do kruhu je každá strana tetivou kružnice. K výpočtu prvkov trojuholníka stačí určiť dĺžku tetivy pomocou stredového uhla, čo je dvojnásobný sínus polovice stredového uhla.
Hipparchos zostavil tabuľky tetív (sínusov) pre rôzne stredové uhly kružnice pri stálom polomere. Napísal dvanásť kníh k tejto problematike. Písomné doklady pochádzajú od Ptolemaios v knihe Almagest.[1]
Hipparchos zostavil tabuľky tetív (sínusov) pre rôzne stredové uhly kružnice pri stálom polomere. Napísal dvanásť kníh k tejto problematike. Písomné doklady pochádzajú od Ptolemaios v knihe Almagest.[1]
[1] Smýkalová, R. : Goniometrické funkce v elementární matematice. (Czech). Brno, 2016. Dostupné na: https://dml.cz/handle/10338.dmlcz/404316
Arabskí učenci zaviedli pojem sínus ako vzťah medzi polovicou uhla a polovicou tetivy.
Arddhadžíva (džíva) - dĺžka polovice tetivy. Arabský preklad: džiba džaib (prsia, výstrih, vypuklosť). V 12. storočí preklad do latinčiny: sinus.
V 6. storočí Varahamihira vo svojej práci použil vzorec pre súčet kvadrátov sin a cos. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v uzavretom intervale .
Analytický pohľad na goniometrické funkcie vytvoril Leonhard Euler roku 1748 v spise Introductio in analysin infinitorum [2], kde tieto funkcie definoval pomocou nekonečných radov. Používal zápisy: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec.
_________________________________________________________________________________________
[2] INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM. Translated and annotated by. Ian Bruce Dostupné na: http://www.17centurymaths.com/contents/introductiontoanalysisvol1.htm resp. Tu
text
V 6. storočí Varahamihira vo svojej práci použil vzorec pre súčet kvadrátov sin a cos. Všetky spomínané trigonometrické veličiny skúmali Indovia iba v rozmedzí prvého kvadrantu, teda v uzavretom intervale .
Analytický pohľad na goniometrické funkcie vytvoril Leonhard Euler roku 1748 v spise Introductio in analysin infinitorum [2], kde tieto funkcie definoval pomocou nekonečných radov. Používal zápisy: sin., cos., tang., cot., sec., a cosec.
_________________________________________________________________________________________
[2] INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM. Translated and annotated by. Ian Bruce Dostupné na: http://www.17centurymaths.com/contents/introductiontoanalysisvol1.htm resp. Tu
Definície funkcií
Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky protiľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
applet sin sin cos cos
Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžky priľahlej odvesny ostrého uhla k dĺžke prepony.
applet sin sin cos cos
Tangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok protiľahlej a priľahlej odvesny ostrého uhla:
tg tg
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok priľahlej a protiľahlej odvesny ostrého uhla:
cotg cotg
tg tg
Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer dĺžok priľahlej a protiľahlej odvesny ostrého uhla:
cotg cotg
Doplňte applet pre hodnoty funkcie tangens a kotangens.
Kosínus je pomer priľahlej odvesny k prepone. Priľahlá k uhlu je odvesna . Preto bude
cos
využijúc vzťah 90 dostaneme
sin cos cos (90.
Vzťahy medzi sin a cos resp. tg a cotg
sin() = cos(90); cos() = sin(90)
tg() = cotg(90); cotg() = tg(90)
cos
využijúc vzťah 90 dostaneme
sin cos cos (90.
Vzťahy medzi sin a cos resp. tg a cotg
sin() = cos(90); cos() = sin(90)
tg() = cotg(90); cotg() = tg(90)
Úlohy
Riešte nasledujúce úlohy
- Zostrojte pravouhlý trojuholník s pravým uhlom pri vrchole tak, aby platilo a sin. Applet Tu.
- Využitím rovnostranného trojuholníka vypočítajte sin(30°), cos(30°), tg(30°), cotg(30°).
- V pravouhlom trojuholníku s pravým uhlom pri vrchole je dané . Vypočítajte a .
- Je daná kružnica , kde , a bod s . Vypočítajte veľkosť uhla, ktorý zvierajú dotyčnice z bodu ku kružnici .
Riešenie úlohy 2
Nech rovnostranný trojuholník má stranu . Výšku trojuholníka vypočítame pomocou Pytagorovej vety.
Využitím pravouhlého rovnoramenného trojuholníka vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií pre uhol .
Nech rovnostranný trojuholník má stranu . Výšku trojuholníka vypočítame pomocou Pytagorovej vety.
Využitím pravouhlého rovnoramenného trojuholníka vypočítajte hodnoty goniometrických funkcií pre uhol .
Jednotková kružnica
Jednotková kružnica
Kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy, ktorá má polomer . Pre naše úvahy bude dôležitý jej priesečník s kladnou polosou .
Kružnica so stredom v počiatku súradnicovej sústavy, ktorá má polomer . Pre naše úvahy bude dôležitý jej priesečník s kladnou polosou .
Definujeme zobrazenie, ktoré každému reálnemu číslu priradí na jednotkovej kružnici práve jeden bod .
applet otvoríte Tu
Zobrazenie - vlastnosti
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu - vlastnosti
Ukážeme, že zobrazenie nie je injektívne. Dvom rôznym reálnym číslam môžeme priradiť ten istý bod.
Ku každému bodu kružnice v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) existuje kladné reálne číslo, ktoré je rovné dĺžke oblúka . Zobrazenie je surjektívne.
- Skúmajme, do ktorého bodu jednotkovej kružnice sa zobrazí číslo .
- Obvod jednotkovej kružnice je rovný číslu .
- Dĺžka oblúka predstavuje štvrtinu dĺžky celej kružnice (bod ).
- Číslo je , čo predstavuje štvrtinu celého obvodu kružnice
- Preto sa číslo zobrazí do bodu .
- Uvažujme o čísle , čo predstavuje jeden a štvrť obvodu kružnice.
- Preto sa aj číslo zobrazí do bodu . Celá kružnica plus jedna jej štvrtina.
Ku každému bodu kružnice v kladnom zmysle (proti smeru hodinových ručičiek) existuje kladné reálne číslo, ktoré je rovné dĺžke oblúka . Zobrazenie je surjektívne.
Záver
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu je surjektívne ale nie je injektívne.
Zobrazenie množiny reálnych čísel na jednotkovú kružnicu je surjektívne ale nie je injektívne.
Úlohy
Riešte nasledujúce úlohy
- Ktorý bod bude priradený číslu ?
- Určte všetky reálne čísla, ktorým je na jednotkovej kružnici priradený bod podľa obrázka. Bod leží na osi II. kvadrantu.
- Ktoré body jednotkovej kružnice sú priradené číslam , kde ?
- Určte všetky reálne čísla , ktorým je priradený rovnaký bod jednotkovej kružnice ako číslu a ().
Riešenie úlohy č. 1
Prevod stupňov na radiány
,
kde je veľkosť uhla v radiánoch a je veľkosť uhla v stupňoch
Prevod radiánov na stupne
sr
,
kde je veľkosť uhla v radiánoch a je veľkosť uhla v stupňoch
Prevod radiánov na stupne
sr
Vlastnosti sínus/kosínus
Definície funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice zodpovedá definícii pre ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku.
V pravouhlom trojuholníku s ostrým uhlom má protiľahlá odvesna veľkosť , čo predstavuje - -ovú súradnicu bodu . Prepona má veľkosť . Potom
sin.
V pravouhlom trojuholníku s ostrým uhlom má protiľahlá odvesna veľkosť , čo predstavuje - -ovú súradnicu bodu . Prepona má veľkosť . Potom
sin.
Posunutie grafu
Vzorce
Súčtové vzorce pre sínus a kosínus
Stiahnite si applet od M. Vinkléra Tu
Cvičenie
Poznámky
- ...
- ...
...