Vedecké poznávanie vo vyučovaní matematiky
Problémy s mocninami s reálnym exponentom
Dedekindove rezy
Matematik Pytagorovej školy Hippasus (5. stor. pred n. l.) ukázal, že uhlopriečka štvorca s jednotkovou stranou nemôže byť vyjadrená racionálnym číslom1)
Hippasus pravdepodobne dospel k záveru, že
![u^2=1^2+1^2 u^2=1^2+1^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de76d10c65450b442ea32e9cc16db082.png)
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
Tvrdenie.
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel
riešenie.
S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel
![\small Q \small Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2f5df3566bf5def2bbb19206b677f505.png)
Dokážeme to nepriamo.
Nech existuje racionálne číslo
, ktoré je riešením rovnice
. Potom zrejme
, pričom celé čísla
sú nesúdeliteľné.
Najväčší spoločný deliteľ čísel
je rovný
.
Po dosadení do rovnice
a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť
. Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne.
Z vlastností deliteľnosti celých čísel vyplýva, že číslo
delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej strane rovnosti.
Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. Teda číslo
je párne,
preto musí byť aj číslo
párne. (Dokážte to). To znamená, že je v tvare
. Po dosadení do rovnosti
dostávame
.
Analogickou úvahou zistíme, že číslo
je párne. Keďže aj číslo
je párne, tak najväčší spoločný deliteľ čísel
je väčší alebo rovný číslu
.
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo
, kde
sú nesúdeliteľné celé čísla.
Pozrite si zápis dôkazu v GeoGebre Tu.
Nech existuje racionálne číslo
![\small r \in Q \small r \in Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/58c401ac2d7a137923c0b592d4ec6170.png)
![x^2=2 x^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6146f5ae4c94269ed0aa72be547a5af.png)
![r= \frac{p}{q} r= \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8792bc79b36c6b81d8214bfcc09136.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35c0804c862a635e2fe8371dc43e25d0.png)
Po dosadení do rovnice
![x^2=2 x^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/f6146f5ae4c94269ed0aa72be547a5af.png)
![p^2=2.q^2 p^2=2.q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7996c677ef8ecb2fac40c798948622a5.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
![p^2 p^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2eeb668df699a011c011097fd79b3ffa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p=2k p=2k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c94398e2e3bf8ddbec4601260459d40.png)
![p^2=2.q^2 p^2=2.q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/7996c677ef8ecb2fac40c798948622a5.png)
![(2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2 (2k)^2=2.q^2 \Leftrightarrow 2k^2=q^2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4a8aa8af2b572aee74efd3cc1e63b7b9.png)
Analogickou úvahou zistíme, že číslo
![q q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/af72e5dc8af87a2580b23fbf92c543f6.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/74d37d601e20578216a4981034dde4bc.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/594668f17f5992e11f1330ef50cb8494.png)
![2 2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c0f68e1eb5091d1974d1cc03a0d1f9b.png)
To je spor s našim predpokladom, že riešením je racionálne číslo
![r= \frac{p}{q} r= \frac{p}{q}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9b8792bc79b36c6b81d8214bfcc09136.png)
![p,q p,q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/335ab2f4a7898cba665197bb0e1d0f24.png)
Poznámka.
Ak označíme jedno riešenie rovnice
symbolom
(druhá odmocnina z dvoch), tak toto číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj
je riešením rovnice
a tiež nie je racionálne.
Ak označíme jedno riešenie rovnice
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
![\sqrt[]{2} \sqrt[]{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/297a1f700540ffde5fd6e4874d969d54.png)
![-\sqrt[]{2} -\sqrt[]{2}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/98c948e1f301c9a76f2fb05d26057d97.png)
![u^2=2 u^2=2](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/531ea1ec0dda26c1e69c5a1e83c86e02.png)
Cvičenie.
Zapíšte dôkaz ... v GeoGebre.
Zapíšte dôkaz ... v GeoGebre.
Reálne čísla zavádzame pomocou Dedekindových rezov na množine racionálnych čísel.
Podmnožinu
nazývame Dedekindovým rezom množiny
, ak
Dolná časť nemá najväčší prvok.
![\alpha \subset Q \alpha \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/87e33ed9df5348df0c39bd4bcbeca20c.png)
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
- podmnožina
je neprázdna množina:
- doplnok
podmnožiny
v množine
je tiež neprázdny:
.
- Nech
je prvkom rezu
a nech
má vlastnosť
. Potom musí aj racionálne číslo
patriť do rezu:
.
- Rez
nemá najväčší prvok. Ak
, tak existuje
, pre ktoré je
.
Dolná časť nemá najväčší prvok.
Definícia
Množinu všetkých rezov množiny
označíme symbolom
. Prvky patriace do množiny
nazývame reálne čísla.
Množinu všetkých rezov množiny
![Q Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/3ec7122626586a9a4462755e4b66ea40.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
![R R](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/75695b46abca7ce53dfa3b4e984a45ca.png)
Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces tvorby sa opiera o podmnožiny
, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.
![\alpha \subset Q \alpha \subset Q](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/89829d8c0ee238e82523e797bda3dcd8.png)
-
Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu
nemôžeme vziať prázdnu množinu ani množinu všetkých racionálnych čísel.
-
Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina
bola „slušne“ usporiadaná:
- ak podmnožina
obsahuje racionálne číslo
, tak táto podmnožina musí obsahovať aj všetky racionálne čísla menšie od čísla
- ak by sme na číselnej osi zobrazili bod
reprezentujúci racionálne číslo
, tak podmnožina
musí obsahovať polpriamku smerujúcu doľava od bodu
.
-
Štvrtú vlastnosť si môžeme interpretovať ako podmnožinu
, ktorá zodpovedá sprava otvorenému intervalu
.
- Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla
Vlastnosti rezov
- Dedekindove rezy, ktorých horná časť má najmenší prvok predstavujú racionálne číslo.
- Nech
je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo, potom podmnožina
je rezom. Dokážte to.
- Podmnožina
reprezentuje racionálne číslo
- množina
je tiež Dedekindov rez, ktorý (ako neskôr ukážeme) má vlastnosť neutrálneho prvku vzhľadom na sčítanie.
- ukážte, že zobrazenie
je injektívne.
- V bode 2. zameňte výrokovú formu
za
. Dostanete rez
, ktorý reprezentuje iracionálne číslo
.
__________________________________________________________________________________________
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.
1) Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.