Kubovčík, M.: Kužeľosečky

Nech karteziánska sústava súradníc je daná repérom $(O; x, y)$. Hovoríme, že nová sústava $(O'; x', y')$ vznikla z pôvodnej sústavy $(O; x, y)$
posunutím, ak platí medzi pôvodnými súradnicami $x, y$ a novými súradnicami $x', y'$ ľubovoľného bodu $M$ vzťah daný rovnicami:
$𝑥' = 𝑥 − 𝑥_0$
$𝑦' = 𝑦 − 𝑦_0$

Nech karteziánska sústava súradníc je daná repérom $(O; x, y)$. Hovoríme, že nová sústava $(O; x', y')$ vznikla z pôvodnej sústavy $(O; x, y)$
otočením okolo počiatku pôvodnej sústavy $O$ daným uhlom $\phi$, ak platí medzi pôvodnými súradnicami $x, y$
a novými súradnicami $x', y'$ ľubovoľného bodu $M$ vzťah daný rovnicami:
$𝑥' = 𝑥 cos \phi + 𝑦 sin\phi$
$𝑦' = −𝑥 sin\phi + 𝑦 cos \phi$

Všeobecná rovnica kužeľosečky obsahuje zmiešaný kvadratický člen $xy$:
$𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐵𝑥𝑦 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0$.
Ak chceme, aby vypadol zmiešaný kvadratický člen $xy$ v príslušnej všeobecnej rovnici kužeľosečky,
tak otočíme pôvodnú súradnicovú sústavu okolo počiatku $O$ o taký uhol $𝜑$, aby koeficient $2B = 0$ a všeobecná kužeľosečka mala tvar:
$𝐴𝑥^2 + 𝐶𝑦^2 + 2𝐷𝑥 + 2𝐸𝑦 + 𝐹 = 0$.
Najprv všeobecne transformujeme pôvodnú súradnicovú sústavu $(O, x, y)$ otočením na novú súradnicovú sústavu $(O, x', y')$:
$A(x' cos \phi -y'sin \phi)^2 + C(x' sin \phi + y' cos \phi)^2+ 2B(x' cos \phi - y' sin \phi)(x' sin \phi + y' cos \phi) +$
$+ 2D(x' cos \phi - y' sin \phi) + 2E(x' sin \phi + y' cos \phi) + F = 0$.
Pomocou algebrických úprav dostaneme nasledujúci tvar všeobecnej rovnice v otočení:
$A(x'^2 cos^2 \phi - 2x'y' cos \phi sin \phi + y'^2 sin^2 \phi) + C(x'^2 sin^2 \phi + 2x'y' cos \phi sin \phi + y'^2 cos ^2 \phi) +$
$+ 2B(x'^2 cos \phi sin \phi + x'y' cos^2 \phi - x'y' sin^2 \phi - y'^2 cos \phi sin \phi) + 2D(x'cos \phi - y'sin \phi) +$
$+ 2E(x'sin \phi + y'cos \phi) + 2E(x'sin \phi + y'cos \phi ) + F = 0$
Vyjadríme si koeficient pri zmiešanom kvadratickom člene $x'y'$:
$𝑥'𝑦'(−𝐴 sin 2\phi + 𝐶 sin 2\phi + 2𝐵 cos 2\phi)$.
Keďže chceme odstrániť zmiešaný kvadratický člen $x'y'$, tak potom musí platiť:
$(𝐶 − 𝐴) sin 2\phi + 2𝐵 cos 2\phi = 0$.
Vyjadríme si nakoniec, o aký uhol $𝜑$ musíme otočiť príslušnú kužeľosečku,
aby sme odstránili zmiešaný kvadratický člen $xy$ zo všeobecnej rovnice danej kužeľosečky:
$cotg 2 \phi= \frac{A-C}{2B}$