Kubovčík, M.: Kužeľosečky

Nech je daná rotačná kužeľová plocha $K$ a rovinný rez $𝜌$ rovnobežný práve s dvomi tvoriacimi priamkami kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu $𝜌$ a rotačnej kužeľovej plochy $K$ je hyperbola, tak nám stačí ukázať,
že body tohto prieniku majú konštantný rozdiel vzdialeností od dvoch pevných bodov $F_1, F_2$ (ohniská).
Do rotačnej kužeľovej plochy $K$ vpíšeme guľové plochy $G_1, G_2$ (dotýkajúce sa kužeľovej plochy pozdĺž kružníc $k_1, k_2$) tak,
aby rovinný rez $𝜌$ bol ich dotyková rovina. Body dotyku označíme $F_1, F_2$.
Zvolíme si ľubovoľný bod $M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$. Budeme viesť povrchovú priamku rotačnej kužeľovej plochy $p$ prechádzajúcu týmto bodom.
Označme $X ∈ 𝑘_1 ∩ 𝑝, Y ∈ 𝑘_2 ∩ 𝑝$. Platí:
$|MF_1| = |MX|$,
pretože priamky $MF_1, MX$ sú dotyčnice guľovej plochy $G_1$ a zároveň body $F_1, X$ na tejto guľovej ploche ležia. Obdobne platí:
$|MF_2| = |MY|$.
Dostávame, že:
$||MF_1| − |MF_2|| = ||MX| − |MY|| = |XY|$.
Takto sme dostali, že všetky také body $M ∈ 𝐾 ∩ 𝜌$ sú vzdialené od dvoch pevných bodov $F_1, F_2$ o konštantný rozdiel vzdialeností.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame hyperbola.