Kubovčík, M.: Kužeľosečky
4. Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy
4.2. Dôkaz vety pre parabolu
Nech je daná rotačná kužeľová plocha
a rovinný rez
rovnobežný práve s jednou tvoriacou priamkou kužeľovej plochy.
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
a rotačnej kužeľovej plochy
je parabola,
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy
vpíšeme guľovú plochu
tak, aby rovinný rez
bola dotyková rovina tejto guľovej plochy.
Bod dotyku označme
. Guľová plocha
sa dotýka rotačnej kužeľovej plochy v podobe kružnice
, pričom rovina, v ktorej leží kružnica, pretína rovinný rez
v priamke
.
Ľubovoľným bodom rovinného rezu
vedieme povrchovú priamku
rotačnej kužeľovej plochy
. Priamka
je dotyčnicou guľovej plochy
a dotýka sa v bode
. Ďalšou dotyčnicou guľovej plochy
prechádzajúcou bodom
je priamka
.
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
.
Dostali sme, že všetky body
sú rovnako vzdialené od pevne zvoleného bodu
a priamky
.
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
Ak chceme dokázať, že prienik rovinného rezu
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
tak nám stačí ukázať, že body tohto prieniku majú konštantnú vzdialenosť od pevného bodu (ohnisko) a (riadiacej) priamky.
Do rotačnej kužeľovej plochy
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
Bod dotyku označme
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png)
![𝜌 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8c25a3a0388757d58b8d5f4ba1281850.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
Ľubovoľným bodom rovinného rezu
![𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4504ca2c64f998b77b42caff949e02aa.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![K K](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png)
![p p](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![X ∈ 𝑘 ∩ 𝑝 X ∈ 𝑘 ∩ 𝑝](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/042edcfb4c11c94f5a8b0ab731bb100e.png)
![G G](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png)
![M M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png)
![MX MX](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/0b98720dcb2cc6fd60358a45dfbc5b87.png)
Keďže dĺžky dotyčníc z bodu ku guľovej ploche sú rovnaké, tak platí:
![|MF| = |MX| |MF| = |MX|](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bb2283bc1c8818922d6eb6b2674cdc78.png)
Dostali sme, že všetky body
![𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌 𝑀 ∈ 𝐾 ∩ 𝜌](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/4504ca2c64f998b77b42caff949e02aa.png)
![F F](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/800618943025315f869e4e1f09471012.png)
![d d](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8277e0910d750195b448797616e091ad.png)
Takúto množinu bodov danej vlastnosti nazývame parabola.
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/386638/mod_book/chapter/9044/parabola%20D-Q%20veta.png)