Interaktívna geometria - planimetria
Cvičenie I
Cvičenie.
- Dokážte, že
- Existuje práve jedna os uhla. Kniha I, Tvrdenie IX.
- Každá nenulová úsečka má práve jeden stred, a ten je jej vnútorným bodom. Kniha I, Tvrdenie X. Pozrite si euklidovskú konštrukciu osi úsečky Tu.
- Riešte úlohy (napr. č. 3, 11 a 12 ) zo zbierky " Základné euklidovské konštrukcie" Tu. Pokúste sa o riešenie aj ďalších úloh.
- Nech v rovnoramennom trojuholníku
platí, že uhol pri základni trojuholníka je dvojnásobkom uhla pri vrchole
. Overte, že dĺžka ramena a dĺžka základne sú v zlatom pomere. Pozrite Euklidove Základy Kniha II, Tvrdenie XI a otvorte applet Tu.
Pomoc pri riešení úlohy: Do trojuholníka vpíšte trojuholníks ním podobný
otvorte applet Tu
a aplikujte Euklidovo tvrdenie Kniha 1., T/IV a T/V. Viac o zlatom pomere nájdete v prezentácii Tu. - Ukážte, že uhlopriečky obdĺžnika sú zhodné a že sa navzájom rozpoľujú. (Vytvorte applet, ktorý bude interpretovať túto vlastnosť.)
- Pomocou tvrdenia "Uhlopriečky obdĺžnika sú ..." ukážte:
Ak jepravouhlý s pravým uhlom pri vrchole
, potom všetky jeho vrcholy ležia na kružnici, ktorej priemerom je strana
.
- Ukážte, že platí:
.
Uvedomte si, že pre polohu boduvzhľadom na
máme možnosti:
.
- Uveďte definíciu opačnej polroviny. (Pozrite si prácu: Monoszová, G.: Planimetria.)
- Dané sú tri nekolineárne body
. Určte množinu (šrafovaním)
- Zostrojte rovnoramenný trojuholník
so základňou
pomocou dvoch zhodných hyperbolických kružníc (kružnice s rovnakým polomerom). Pomocou dotyčníc k hPriamkam
a k hPriamkam
určte veľkosti uhlov pri základni a presvedčte sa, že majú rovnakú veľkosť. Riešenie Tu.
- Nájdite stred kružnice(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha III, T/I). Riešenie Tu.
- Zostrojte hyperbolickú kolmicu
na hyperbolickú priamku
, ktorá neprechádza bodom
.
Návod: Využite Euklidove tvrdenia T/XI a T/XII.
- Zostrojte kružnicu vpísanú (resp. opísanú) do trojuholníka
(pozrite si Euklidovo tvrdenie: Kniha IV, T/IV (resp. T/V)).
Základné hyperbolické konštrukcie v Poincare Disku
![\omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace \omega = \lbrace{x^2+y^2< 0; x,y \in \mathbb{R} }\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/edb14be9d9d2288362886a80eb777e85.png)
Poznámky.
- Pri dokazovaní prípadov 1a, 1b najskôr ukážte existenciu daného útvaru a potom jeho jednoznačnosť.
- Cvičenie 2. Ukážte, že základňa trojuholníka
je stranou pravidelného päťuholníka vpísaného do kružnice
a rameno trojuholníka je jeho uhlopriečkou.
- Kolmé kružnice. Základ Tu. Kompletná konštrukcia Tu. GeoGebra s nástrojom "Kolmá kružnica" je Tu.