Neeuklidovská geometria euklidovsky

Poincaré model

• model vznikne ako stredový priemet dvojdielneho hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
• stred premietanie je vrchol $\small V'=(0,0,-1)$ (spodná časť) hyperboloidu
• premietame do roviny kolmej na os hyperboloidu, ktorá prechádza stredom hyperboloidu $\small O=(0,0,0)$


• priemetom hyperboloidu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ je zrejme otvorený kruh $\omega=(O,\; r < 1)$
• tento otvorený kruh so stredom $\small O$ sa nazýva Poincaré Disc
• dvojdielny hyperboloid a rovina kolmá na os hyperboloidu prechádzajúca jeho stredom Tu.

Tvrdenie

1. Priemetom h-bodu (vlastného) hyperboloidu je zrejme vnútorný bod kruhu $\small \omega (O,\; r=1)$.
2. Priemetom h-priamky (hyperboly) je otvorený kružnicový oblúk kruhu, ktorý je kolmý na jeho hranicu $\omega$.

Dôkaz

1. Dôkaz prvej časti tohto tvrdenia vyplýva z vlastností stredového premietania, v ktorom sa kužeľová plocha obaľujúca hyperboloid zobrazí do kružnice $\small (O,\; r=1)$. To znamená, že ľubovoľný bod hyperboloidu sa zobrazí do vnútra kruhu $\small \omega (O,\; r \leq 1)$. Otvorte si obrázok Tu
2. Dôkaz druhej časti o priemete h-priamky (reálne stredovej hyperboly) rozdelíme na dve etapy i. a ii.
   
   
   Pohybujte bodmi $\small A,B$, applet si stiahnete Tu.
   1. Nech $\small A,A'$ je dvojica združených bodov hyperboloidu a nech $\small A_1,A'_1$ sú ich stredové priemety. Pre súčin vzdialeností $a_1,a'_1$ bodov $\small A_1,A'_1$ od stredu $\small O$ hyperboloidu platí:
      $a_1 \times a'_1=[ \frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}-1)] \times [\frac{1}{r}(\sqrt{r^2+1}+1)]=1$.
      Dôkaz toho, že súčin vzdialeností $\small | OA_1| \times | OA'_1|$ je konštantný je prezentovaný v nižšie priloženom applete. Pozrite si obrázok a otvorte si applet.
      
      Obrázok, applet si otvoríte programom GeoGebra Tu.
   2. Musíme ešte dokázať, že ľubovoľná dvojica združených bodov $\small A,A'$ leží na kružnici kolmej na kružnicu $\small \omega (O,\; r=1)$. V tejto etape dôkazu budeme potrebovať tvrdenie o mocnosti bodu ku kružnici. Viac o mocnosti bodu ku kružnice nájdete v kurze Planimetria a stereometria Tu.

Mocnosť bodu ku kružnici
Je daná kružnica $\small k (S_k, r_k)$ a bod $\small O$, ležiaci zvonka kružnice. Nech $p$ je sečnica kružnice $k$ vedená bodom $\small O$ a nech $\small A_1, A'_1$ sú priesečníky sečnice $p$ s kružnicou $\small k (S_k, r_k)$. Pod mocnosťou bodu $\small O$ ku kružnici $\small k (S_k, r_k)$ rozumieme číslo $m$, pre ktoré platí: $\small m = |OA_1| . |OA'_1|$.

Vlastnosť mocnosť stačí vhodne aplikovať na náš prípad. Ilustráciu tvrdenia o priemete h-priamky prezentuje nasledujúci applete. Podrobný dôkaz (časti ii.) nájde čitateľ v ďalšej podkapitole s názvom "Hyperbolická priamka". Pozrite si tiež kapitolu "The Poincaré Disk Model" v práci [HIT].