Neeuklidovská geometria euklidovsky
Poznámky.
- Konštrukcie v Poincare Disc si uľahčíme, ak v GeoGebre vytvoríme vlastné nástroje, ktorými sa "vykreslí" resp. zostrojí požadovaný útvar.
- Vychádzame z tvrdenia, že h-priamka sa zobrazí do kružnicového oblúku, ktorý leží na kružnici kolmej k Poincare disku.
- Najskôr musíme popísať konštrukciu, ktorá vytvorí požadovaný kolmý oblúk (obraz h-priamky).
- Potom pomocou makier vytvoríme nástroj, pomocou ktorého sa zostrojí požadovaný kolmý oblúk.
Úloha.
Daný je kruh
a body
ležiace vnútri kruhu. Zostrojte obraz hyperbolickej h-
priamky určenej bodmi
v prostredí GeoGebry
Daný je kruh
![\small \omega (O, r=1) \small \omega (O, r=1)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c955922e3fcaa2dbfa2ae1569c5d8289.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
Riešenie
Budeme predpokladať, že aspoň jeden z bodov
je vnútorný bod kruhu
a je rôzny od stredu
.
Postup konštrukcie
Budeme predpokladať, že aspoň jeden z bodov
![\small A, B \small A, B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/c1fd5befa06eb94afe9b60b552facb12.png)
![\small \omega \small \omega](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/38f960cbe78eb7dcbd9a71c516adf726.png)
![\small O \small O](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bd2edbb3f929cc29f81bbb586e0715e5.png)
![](https://lms.umb.sk/pluginfile.php/350338/mod_book/chapter/6510/Sn%C3%ADmka%20obrazovky%202022-08-23%20163010%20%282%29.png)
Postup konštrukcie
- V kruhovej inverzii
zostrojíme obrazy
bodov
.
- Zostrojíme kružnicu
určenú bodmi
alebo bodmi
. Nájdeme priesečníky
.
- Na kružnici
vyznačíme menší z oblúkov, ktoré sú určené krajnými bodmi
.
- Menší oblúk je hľadaný obraz hyperbolickej priamky
Nástroj na vytvorenie h-priamky v modeli Poincaré Disc.
- Nástroj v GeoGebre na zostrojenie priamky v modeli Poincaré Disc
s polomerom
, otvorte Tu. Postup je klasický ako v euklidovskej rovine. Najskôr si zvoľte dva rôzne body vo vnútri kruhu
- použite nástroja Bod. Potom aktivujte nástroj hPriamka a program vykreslí kružnicový oblúk, ktorý je priemetom h-priamky (hyperboly).
alebo
-
Nástroj v GeoGebre na zostrojenie priamky v modeli Poincaré Disc s ľubovoľným polomerom, otvorte
Tu. Pri tomto nástroji treba po zadaní dvoch bodov a aktivovaní nástroja hPriamka ešte kliknúť aj bod
. Pomocou tohto bodu môžeme meniť polomer kružnice
, čo predstavuje "sploštenie" hyperboloidu.
Postup na vytvorenie nástroja hPriamka v GeoGebre, pomocou ktorého sa narysuje obraz hyperbolickej priamky v Poincare modeli.
- Spustite program GeoGebra a otvorte si súbor uložený s názvom "h-Priamka".
- V základnom Menu programu GeoGebra vyberte možnosť "Vytvoriť nový nástroj".
- Postupujte podľa pokynov pre vytvorenie nástroja:
- ako výstupné objekty vyberte body:
a oblúk
(otvorte si aj algebraické okno)
- ako vstupné objekty vyberte body:
a kružnicu
- vhodne pomenujte nástroj, napr. "hPriamka", vyberte predtým vytvorený obrázok pre ikonu
- v nápovedi uveďte napr. "Ukáž dva body a potom klikni na kružnicu"
- zaškrtnite políčko "Ukázať na palete nástrojov"
- uložte ako napr. "hPriamka" s príponou ggt.
- ako výstupné objekty vyberte body:
- Ak už vidíte novú ikonku nástroja hPriamka, tak v tejto konštrukcii kliknite v stĺpci Súbor na Nový.
- Nákresňa je "čistá" ale ikonka hPriamka je tam. Teraz si vytvorte kružnicu
a vhodne zväčšite plochu nárysne. Uložtesi tento súbor pod názvom Nástroj hPriamka.
Cvičenie.
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorej sa vytvorí hyperbolická úsečka v modeli Poincaré Disk. Riešenie Tu
Vytvorte Nástroj/Ikonu v GeoGebre, pomocou ktorej sa vytvorí hyperbolická úsečka v modeli Poincaré Disk. Riešenie Tu