Vytlačiť jednu kapitoluVytlačiť jednu kapitolu

Kupcová, Ľ.: Nerovnosti a nerovnice

Iné známe nerovnosti


Bernoulliho nerovnosť:

(1+x)^n \geq 1 + nx ;    n \in N, x \in (-1; \infty ) .


Dôkaz (matematickou indukciou): 

 1. krok: n=1 

1+x=1+x

Zrejme pravdivý výrok. 

2. krok: 

IP:  (1+x)^k \geq1+kx

IK:  (1+x)^ \lbrace{k+1}\rbrace \geq 1+(k+1)x

(1+x)^k \geq 1+kx   / . (1+x)  

(( 1+x ) je kladné číslo, preto je táto úprava ekvivalentná

(1+x)^k+1 \geq 1+x+kx+kx^2 \geq 1+(k+1)x (pretože  kx^2 \geq0 .



Huygensova nerovnosť:

2 sinx + tan x \geq 3x ;    0 < x < \Pi/2 .


Cauchy-Schwarzova nerovnosť: 

Nech V je reálny vektorový priestor so skalárnym súčinom f. Potom  \forall x,y \in  V: 

\left| \begin{matrix} f(x,y) \end{matrix} \right| \leq \left| \begin{matrix} \left| \begin{matrix} x \end{matrix} \right| \end{matrix} \right| . \left| \begin{matrix} \left| \begin{matrix} y \end{matrix} \right| \end{matrix} \right|  .


\( .\)