Množinová aritmetika
Množinová aritmetika
Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem ekvivalentnosti dvoch množín.
Pri jeho zavedení sa budeme opierať o bijektívne zobrazenie medzi dvoma množinami. Pri konečných množinách si takéto zobrazenie môžeme predstaviť tak, že prvky dvoch množín navzájom pospájame podľa pravidla „jeden len s jedným“. Takéto pravidlo používajú
aj deti na prvom stupni ZŠ.
Definícia.
Hovoríme, že množina
je ekvivalentná s množinou
, ak existuje prosté zobrazenie
množiny
na množinu
.
Skutočnosť, že množina
je ekvivalentná s množinou
budeme zapisovať symbolom
. Zobrazenie
je zrejme bijekcia.
Hovoríme, že množina
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/466ccc4d3df11276cb66edd29b1bf770.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small \varphi \small \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ea170a47ca7b60174b633ae1b3802bbb.png)
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
Skutočnosť, že množina
![\small A \small A](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/000ed475b96f0afc9079d1afcc66932d.png)
![\small B \small B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/873f96656e81b6bd4fdbcc1ac8ca8d9a.png)
![\small A \approx B \small A \approx B](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/341f869deab817df99afd2f759505c99.png)
![\varphi \varphi](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6d1102fcd20cb8d1367a42df048a5025.png)
Príklad.
Nech
je nekonečná množina a
jej potenčná množina. Definujme binárnu reláciu
tak, aby
.
Nech
je množina prirodzených čísel. Zistite, či táto relácia je symetrická. Vypíšte jej niektoré prvky - dvojice podmnožín.
Nech
![\small M \small M](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/5b1c3d7b89767a91efa9b712360c214f.png)
![\small P(M) \small P(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/465ec8649575e3c341cdd5b5d5218907.png)
![\small R \subset P(M) \small R \subset P(M)](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/27eac7b5e750b69b26d490ef9289f9bf.png)
![\small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace \small R= \lbrace{ [A,B] \in P(M) \times P(M): A \approx B}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/782f09dd57dd917afb64567badbf371d.png)
Nech
![\small M= \lbrace{0,1,2,...,n,...}\rbrace \small M= \lbrace{0,1,2,...,n,...}\rbrace](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/df04cf2b7778c1089310931171e0b8fd.png)