Kombinatorika
Kombinácie bez opakovania
Kombinačné číslo
Teda
je prirodzené číslo, ktoré skrátene nazývame
- faktoriál. Symbol
definitoricky bude predstavovať číslo rovné
.
V nasledujúcom texte budeme pre kombinačné číslo používať označenie
![n!=1. 2 ...(n-1).n n!=1. 2 ...(n-1).n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/986ec8d3e3e90f7404e103f08eecbc19.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![0! 0!](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e931ca5498a0108813712dbdf57338c8.png)
![1 1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/35c0804c862a635e2fe8371dc43e25d0.png)
V nasledujúcom texte budeme pre kombinačné číslo používať označenie
![C (n,r) = \binom {n} {r} C (n,r) = \binom {n} {r}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6ac58f6810b6c5403e4ab133c92c9431.png)
Dôkaz.
Všimnite si zaujímavý fakt:
je celé číslo pre ľubovoľné
a
,
.
-
Pre
pravdivosť tvrdenia je zrejmá.
- Predpokladajme, že platí
. Budeme dokazovať indukciou vzhľadom na číslo
.
- Overenie pravdivosti tvrdenia v prípade
prenechávame na čitateľa.
- Predpokladajme (indukčný predpoklad), že tvrdenie platí pre
.
Dokážeme, že platí aj pre.
-
Na základe predchádzajúceho dôsledku platí rovnosť:
na základe indukčného predpokladu môžeme rovnosť ďalej upraviť:
Všimnite si zaujímavý fakt:
![\frac{n!}{(n-r)!\; r!} \frac{n!}{(n-r)!\; r!}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/de22595406751b23ad090e1e60753ec9.png)
![n n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270.png)
![r r](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/1af9dcecc465950e25f7153943970180.png)
![1 \leq r \leq n 1 \leq r \leq n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b1e5f122d76bc3e6ee904efaf485140f.png)