Komplexné čísla na strednej škole
Rovnica
nemá v obore reálnych čísel riešenie, preto vytvorme taký číselný obor
, kde rovnice tohto typu budú mať riešenie.
Budeme požadovať, aby existovalo nejaké „imaginárne “ číslo
, pre ktoré je druhá mocnina rovná
.
![x^2+1=0 x^2+1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/50d580710872838778c49998b60ec107.png)
![\mathbb{C} \mathbb{C}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88186b707564581b3c0fbd50e1edfd38.png)
Budeme požadovať, aby existovalo nejaké „imaginárne “ číslo
![i i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f8ab13f56f855e098e0ea6e73251c1.png)
![-1 -1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d888afbeeba19927b1b7a6eb748ba7ea.png)
Predstavme si, že také číslo
už máme. Nech platí
, potom zrejme bude platiť aj rovnosť
resp. pre ľubovoľné reálne číslo
bude
. Čísla
nie sú reálne. Nazveme ich „imaginárne čísla“.
![i i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f8ab13f56f855e098e0ea6e73251c1.png)
![i^2=-1 i^2=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac0b9b2423ec0018a87090b01dd5a4bd.png)
![(2i)^2=(2i) \cdot (2i)=4i^2=-4 (2i)^2=(2i) \cdot (2i)=4i^2=-4](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/cdb1ba16169b8d6a9dca2503471ef5dc.png)
![k k](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/365c0b3ff8a6fa58b7ae709949b55608.png)
![(ki)^2=-(k^2 ) (ki)^2=-(k^2 )](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/92248d9c201d173e189bee1209971be1.png)
![i,2i, \cdot \cdot \cdot ,ki, \cdot \cdot \cdot i,2i, \cdot \cdot \cdot ,ki, \cdot \cdot \cdot](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e4e641c11cc292aff9f78b18ea06c3e1.png)
Pri vytváraní číselného oboru
budeme požadovať, aby
budeme nazývať komplexné čísla a budeme ich zapisovať v tvare
.
![\mathbb{C} \mathbb{C}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88186b707564581b3c0fbd50e1edfd38.png)
-
všetky súčty
, kde
sú ľubovoľné reálne čísla, patrili opäť do oboru
-
dva prvky
,
sa rovnali práve vtedy, keď
- boli vhodne definované operácie sčítania a násobenia
![\mathbb{C} \mathbb{C}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/88186b707564581b3c0fbd50e1edfd38.png)
![z=x\; + \; yi \; z=x\; + \; yi \;](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d0aa2ccafa557cb0075307882a0d930d.png)
Reálne číslo
sa nazýva reálna časť komplexného čísla
a označujeme ju symbolom
Reálne číslo
sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla
a označujeme ju symbolom
Opačné číslo ku komplexnému číslu
je komplexné číslo
Komplexne združené číslo ku komplexnému číslu
je komplexné číslo
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/6722c218a6f30869ef6886dc4b050a37.png)
![z z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25af810aa748842731df94a4b0e9aa06.png)
![Re(z)=x Re(z)=x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e97d7271562c75ea2c9f4bfe246925a4.png)
Reálne číslo
![y y](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ee23c4f89cdc7b5be951059c2435fa2d.png)
![z z](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/25af810aa748842731df94a4b0e9aa06.png)
![Im(z)=x Im(z)=x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/9496c14869d0b640ddf4d5280b39555d.png)
Opačné číslo ku komplexnému číslu
![z=x\; + \; yi \; z=x\; + \; yi \;](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d0aa2ccafa557cb0075307882a0d930d.png)
![-z=-x\; - \; yi \; -z=-x\; - \; yi \;](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/899a2361f2663a60d5569d9fbe9bb268.png)
Komplexne združené číslo ku komplexnému číslu
![z=x\; + \; yi \; z=x\; + \; yi \;](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/d0aa2ccafa557cb0075307882a0d930d.png)
![\bar{z}=x\; - \; yi \; \bar{z}=x\; - \; yi \;](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/b423c0f6469cf02a9b21f8702b200cdb.png)