Komplexné čísla na strednej škole
Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel je "neriešiteľnosť" rovnice
. Žiakom už na ZŠ by sme mali odôvodniť, že
Súčet
pre ľubovoľné reálne číslo
vždy bude kladné číslo
![x^2+1=0 x^2+1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/50d580710872838778c49998b60ec107.png)
Súčet
![x^2+1 x^2+1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/573a0e3cc0b1720e4c1cb981d2d029a8.png)
![x x](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/86e4e6002b56c05b9875ff111e15fd70.png)
Preto rovnica
nemá v obore reálnych čísel riešenie
Na SŠ sa často použije formulácia: Číslo
definujeme ako riešenie takejto rovnice. Nech
, potom ...
Vhodnejšie by bola formulácia typu: Na chvíľu si predstavme, že také číslo
už máme. Nech platí
, potom ...
![x^2+1=0 x^2+1=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/50d580710872838778c49998b60ec107.png)
Na SŠ sa často použije formulácia: Číslo
![i i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f8ab13f56f855e098e0ea6e73251c1.png)
![i^2=-1 i^2=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac0b9b2423ec0018a87090b01dd5a4bd.png)
Vhodnejšie by bola formulácia typu: Na chvíľu si predstavme, že také číslo
![i i](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/72f8ab13f56f855e098e0ea6e73251c1.png)
![i^2=-1 i^2=-1](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/ac0b9b2423ec0018a87090b01dd5a4bd.png)
Historický rámec zavedenia pojmu komplexného čísla
- Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel nebol problém riešenia kvadratickej rovnice so záporným diskriminantom.
- Podnetom bol iný problém: algebraické riešenie kubických rovníc.
Kubická rovnica
sa po substitúcii
redukuje na tvar
(14.st., Florencia).
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc:
,
a
, kde
sú kladné koeficienty.
![az^3+bz^2+bz+c=0 az^3+bz^2+bz+c=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/2947fd0bb46097a029232bc7a633c920.png)
![z=x- \frac{a}{3} z=x- \frac{a}{3}](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/be53440445e2dac2d420fd48b3f53eb1.png)
![x^3+mx+n=0 x^3+mx+n=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/209d68ee2f5d136921a3efb76040ebf9.png)
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc:
![x^3+mx=n x^3+mx=n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/063823607a980a88a471f75234c5f056.png)
![x^3+n=mx x^3+n=mx](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/e00f01aa8f752f89a51e268ec80c51b7.png)
![x^3=mx+n x^3=mx+n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/bc3478b5af7994cff840bf6b5d517211.png)
![m,n m,n](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8a95c03f62724bc8ec933dcf0ce3905d.png)
Kubickú rovnicu
môžeme riešiť
![t^3+pt+q=0 t^3+pt+q=0](https://lms.umb.sk/filter/tex/pix.php/8e45a9099cdee3e61688c219088d2e94.png)
- substitúciou
, ktorú použil Thomas Harriot (1560-1621)
- dostaneme rovnicu šiesteho stupňa, ktorá po úprave vedie k riešeniu
- alebo originál Cardanovou metódou, pozri Wikipédiu. Genialita Cardanovho riešenia spočíta v zavedení