Komplexné čísla na strednej škole

Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel je "neriešiteľnosť" rovnice $x^2+1=0$. Žiakom už na ZŠ by sme mali odôvodniť, že
                                            Súčet $x^2+1$ pre ľubovoľné reálne číslo $x$ vždy bude kladné číslo

Historický rámec zavedenia pojmu komplexného čísla

1. Motivačným zdrojom pre zavedenie oboru komplexných čísel nebol problém riešenia kvadratickej rovnice so záporným diskriminantom.
2. Podnetom bol iný problém: algebraické riešenie kubických rovníc.

Kubická rovnica $az^3+bz^2+bz+c=0$ sa po substitúcii $z=x- \frac{a}{3}$ redukuje na tvar $x^3+mx+n=0$ (14.st., Florencia).
Potom stačí uvažovať o troch typoch kubických rovníc: $x^3+mx=n$, $x^3+n=mx$ a $x^3=mx+n$, kde $m,n$ sú kladné koeficienty.

Kubickú rovnicu $t^3+pt+q=0$ môžeme riešiť

1. substitúciou $t=y- \frac{p}{3y}$, ktorú použil Thomas Harriot (1560-1621)
• dostaneme rovnicu šiesteho stupňa, ktorá po úprave vedie k riešeniu
  
2. alebo originál Cardanovou metódou, pozri Wikipédiu. Genialita Cardanovho riešenia spočíta v zavedení
• novej neznámej $t$: $t = u + v$, po dosadení dostaneme: $u^3+ v^3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0$.
• v zavedení podmienky $3 u v + p = 0$, stačí položiť $v = -p/{3u}$ a potom $t =u -p/{3u}$
• po dosadení dostaneme $-u^3 +p^3/{27u^3}=q$
• substitúcia $z=u^3$ vedie ku kvadratickej rovnici s neznámou $z$.

Rafael Bombeli (1572) zavádza slovné označenie pre imaginárnu jednotku a vytvoril pravidlá pre prácu s rýdzo imaginárnymi číslami.
Leonard Euler (1777) prvý použil písmeno $i$ a slovo imaginaire.
Komplexné čísla vyjadroval algebrickom v tvare $z=x \; + \; y \; i \;$ aj goniometrickom tvare $z=\left| z \right| ( {cos} \; \alpha+ i \; {sin} \; \alpha)$

Zbierka riešených úloh Tu .

$<span class="nolink">\( .$\)