Projektívny priestor a kužeľosečky

Analytické vyjadrenie kužeľosečiek

Kategorizácia kužeľosečiek

V predchádzajúcich častiach sme ukázali, že všeobecná rovnica kužeľosečky v afinných súradniciach má tvar: \begin{equation} \label{eq:generalquad} Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, \tag{1}\end{equation} kde

$\small A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$ , pričom aspoň jeden z koeficientov

$\small A, B, C$ je nenulový.

Definícia (Regulárne a singulárne kužeľosečky).
Pod regulárnou kužeľosečkou rozumieme kružnicu, elipsu, hyperbolu alebo parabolu. Pod singulárnou kužeľosečkou rozumieme každú dvojicu priamok (dve rôznobežné priamky, dve rôzne rovnobežné priamky) alebo bod.

Všeobecnú rovnicu kužeľosečky môžeme vyjadriť aj v maticovom tvare:

$\small (x \ y \ 1) \cdot \sigma \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0,$

kde matica

$\small \sigma$ pozostáva z koeficientov všeobecnej rovnice. Algebraickými úpravami môžeme ukázať, že matica

$\small \sigma$ má tvar

$\small \sigma = \begin{pmatrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \end{pmatrix}.$

Determinant matice

$\small \sigma$ nazývame veľký diskriminant kužeľosečky.
Malý diskriminant kužeľosečky je determinant matice:

$\small \delta = \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}.$

Poznámky.
Pri prechode do projektívnej roviny

$\small \mathbb{E}^2$ , vyjadríme rovnicu (1) v homogénnych súradniciach

$\small \mathbf{x} = (x , y , z)$ . Zavedieme substitúciu:

$x \rightarrow \frac{x}{z}, \quad y \rightarrow \frac{y}{z}.$ Vynásobíme celú rovnicu

$\small z^2$ a získame: \begin{equation} Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dxz + 2Eyz + Fz^2 = 0 \end{equation} To je homogenizovaná rovnica kužeľosečky v projektívnej rovine

$\small \mathbb{E}^2$ . Túto rovnicu môžeme zapísať pomocou kvadratickej formy: \begin{equation} \label{eq:proj} \mathbf{x}^\top \sigma \; \mathbf{x} = 0, \quad \text{kde } \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{equation}

Na určenie konkrétneho druhu kužeľosečky pomocou veľkého diskriminantu (označenie

$\small \det \sigma=|\sigma|$ ) a malého diskriminantu (označenie

$\small \det \delta=|\delta|$ ) sme zostavili kvôli prehľadnosti nasledujúci algoritmus:

Ak veľký diskriminant je rôzny od nuly $\small (\det σ ≠ 0)$ , tak kužeľosečka je regulárna a pre
- $\small \det δ > 0$
  - $\small A · |σ| < 0$ alebo $\small C · |σ| < 0$ ⇒ elipsa
  - $\small A · |σ| > 0$ alebo $\small C · |σ| > 0$ ⇒ prázdna množina
- $\small \det δ = 0$ ⇒ parabola
- $\small \det δ < 0$ ⇒ hyperbola
Ak veľký diskriminant je rovný nule $\small (\det σ = 0)$ , tak kužeľosečka je singulárna a pre
- $\small |δ| > 0$ ⇒ kužeľosečka je singulárnym bodom
- $\small |δ| = 0$ ⇒ sú to rovnobežky alebo prázdna množina, špeciálne ak
  - Označme $\small M_1=\begin{vmatrix} A & D \\ D & F \end{vmatrix}$ , potom pre $\small A ≠ 0$ môžu nastať prípady:
    - $\small M_1 < 0 ⇒$ dve rôzne rovnobežky
    - $\small M_1 = 0 ⇒$ dve totožné rovnobežky
    - $\small M_1 > 0 ⇒$ prázdna množina
  - Označme $\small M_2=\begin{vmatrix} C & E \\ E & F \end{vmatrix}$ , potom pre $\small A = 0, C ≠ 0$ môžu nastať prípady:
    - $\small M_2 < 0 ⇒$ dve rôzne rovnobežky
    - $\small M_2 = 0$ ⇒ dve totožné rovnobežky
    - $\small M_2 > 0$ ⇒ prázdna množina
- $\small |δ| < 0 ⇒$ singulárna kužeľosečka predstavuje dve rôznobežky

Jednoduchší spôsob triedenia regulárnych kužeľosečiek vychádza z preskúmania hodnoty diskriminantu

$\small \Delta$ kvadratickej formy (\ref{eq:generalquad}), ktorý sa určí ako:

$\small \Delta = B^2 - 4AC.$ Tento spôsob triedenia je vhodný len pre regulárne kužeľosečky.
Podľa hodnoty diskriminantu

$\small \Delta$ rozlišujeme tri prípady:

$\small \Delta < 0$ : elipsa (vrátane kružnice, ak $\small A = C, B = 0$ ),
$\small \Delta = 0$ : parabola,
$\small \Delta > 0$ : hyperbola.

Didaktická poznámka.
Diskriminant

$\small \Delta = B^2 - 4AC$ kvadratickej formy (\ref{eq:generalquad}) je spoľahlivým a štandardným kritériom na klasifikáciu kvadratických kriviek. Pri zavádzaní tejto klasifikácie je vhodné ukázať nielen analytickú interpretáciu, ale aj grafickú vizualizáciu — napríklad pomocou parametrov

$\small A, B, C$ meniť typ kužeľosečky v reálnom čase.

Príklad.
Rozhodnite, o aký typ kužeľosečky ide v nasledujúcich prípadoch:

$\small x^2 + y^2 - 1 = 0$ → $\small \Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$ → kružnica (elipsa),
$\small x^2 - y^2 = 1$ → $\small \Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4$ → hyperbola
$\small x^2 + 2y - 1 = 0$ → $\small \Delta = 0 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 0$ → parabola

Vytvorte dynamickú interpretáciu v GeoGebre.

$<span class="nolink">$\small .$ $