Projektívny priestor a kužeľosečky

Kužeľosečky

Základy štúdia kužeľosečiek položil Apollónios z Pergy, ktorý systematicky skúmal vlastnosti elipsy, paraboly a hyperboly. Jeho dielo „Kužeľosečky“ (Konika) malo zásadný vplyv na vývoj geometrie a zostalo autoritatívne po viac ako tisíc rokov. V novoveku sa kužeľosečky stali predmetom analytického výskumu vďaka Fermatovi, Descartovi a Newtonovi. Projektívny prístup k nim sa naplno rozvinul až v 19. storočí.

Moderný prístup ku kužeľosečkám spája metrické, algebraické aj projektívne pohľady. Základnou otázkou je zavedenie pojmu kužeľosečka ako rovinnej krivky a klasifikácia kužeľosečiek pomocou analýzy rovníc druhého stupňa, ktoré definujú tieto krivky.
V tejto kapitole uvedieme ďalšie možné zavedenie pojmu kužeľosečka.

Metrickú definíciu kužeľosečky ako množina bodov danej vlastnosti.
Projektívnu definíciu kužeľosečky ako množinu priesečníkov dvoch zväzkov priamok.
Kužeľosečka ako rovinný rez rotačnej kužeľovej plochy ( Quételet-Dandelin veta).

Definícia (Metrická definícia kužeľosečky).
Nech

$\small F \in \mathbb{E}^2$ je daný bod nazývaný ohnisko, nech

$\small d$ je daná priamka nazývaná riadiaca priamka (angl. directrix) a nech

$\small k \in \mathbb{R}^+$ je dané kladné reálne číslo nazývané číselná excentricita (tiež numerická výstrednosť). Potom kužeľosečka je množina všetkých bodov

$\small X \in \mathbb{E}^2$ , ktoré spĺňajú vzťah:

$\frac{\rho(X, F)}{\rho(X, d)} = k,$

kde

$\small \rho(X, F)$ je euklidovská vzdialenosť bodov

$\small X$ a

$\small F$ a

$\small \rho(X, d)$ je vzdialenosť bodu

$\small X$ od priamky

$\small d$ .

Otvorte súbor Tu.

$<span class="nolink">$ .$ $