Uhol

Vytvorte si podkapitolu s názvom "Euklidove Základy" v knihe "Moja 1. kniha", v ktorej budú prezentované niektoré dôkazy Euklidových tvrdení o uhloch, trojuholníkoch, ...
     • Ukážka/applet tvrdenia T16 .
     • Pozrite si prepisy niektorých Euklidových tvrdení Texty tvrdení

Matematická olympiáda kategória Z

1. Prokop zostrojil trojuholník $ABC$, ktorého vnútorný uhol pri vrchole $A$ bol väčší ako $60^\circ$ a vnútorný uhol pri vrchole $B$ bol menší ako $60^\circ$. Juraj narysoval v polrovine určenej priamkou $AB$ a bodom $C$ bod $D$, a to tak, že trojuholník $ABD$ bol rovnostranný. Potom chlapci zistili, že trojuholníky $ACD$ a $BCD$ sú rovnoramenné s hlavným vrcholom $D$. Určte veľkosť uhla $∡ACB$.(MO, kat. Z7, 2017/18)
   Nápad. Nájdite vzťahy medzi vnútornými uhlami uvedených trojuholníkov. Riešenie
   
   1. Veľkosti vnútorných uhlov v trojuholníku $ABC$ označíme postupne $α, β, γ$.
   2. V rovnostrannom trojuholníku $BCD$ majú všetky vnútorné uhly veľkosť $60^\circ$.
   3. Zhodné uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka $BCD$ majú veľkosť $|\angle BCD|=|\angle CBD|=|\angle ABD|−|\angle ABC|= 60^\circ−β$.
   4. Zhodné uhly pri základni rovnoramenného trojuholníka $ACD$ majú veľkosť $|\angle ACD|=|\angle CAD|=|\angle CAB|−|\angle DAB|= α−60^\circ$.
   5. Veľkosť neznámeho uhla $ACB$ môžeme vyjadriť ako $γ =|\angle ACD|−|\angle BCD|= (α−60^\circ)−(60^\circ−β) = α + β −120^\circ$.
   6. Súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku $ABC$ je $180^\circ$, teda $α + β +(α + β −120^\circ) = 180^\circ$, z čoho vyplýva $α + β = 150^\circ$.
   7. Uhol $ACB$ má veľkosť $γ = 150^\circ−120^\circ◦ = 30^\circ$.
2. V ostrouhlom trojuholníku $KLM$ má uhol $KLM$ veľkosť $68^\circ$. Bod $V$ je priesečníkom výšok a $P$ je pätou výšky na stranu $LM$. Os uhla $PVM$ je rovnobežná so stranou $KM$. Porovnajte veľkosti uhlov $MKL$ a $LMK$. (MO, kat. Z8, 2017/18)
   Nápad. Uvažujte os súmernosti uhla $PVQ$.
Riešenie

1. Os uhla $PVM$ je kolmá na os uhla $PVQ$ - sú to osi vrcholových uhlov.
2. Keďže os uhla $\varphi =\angle PVQ$ je zároveň kolmá na rovnobežku $r=MK$, tak je zároveň výškou v trojuholníku $KLM$.
3. Trojuholník $KLM$ musí byť rovnoramenný s hlavným vrcholom $L$.
4. Uhly pri základni $KM$ majú rovnakú veľkosť $\zeta= \xi=56^ \circ$.
Úlohu možno zovšeobecniť:
Ak v trojuholníku $KLM$ os uhla $PVM$ je rovnobežná so stranou $KM$, tak trojuhoník $KLM$ je rovnoramenný.
$<span class="nolink">\( .$\)